文/罗莫
数学史上出现过三次数学危机，前两次分别是毕达哥拉斯的无理数不可通约危机和牛顿的微积分无穷小量危机。第三次是康托尔的集合论莫衷一是危机。这一次是对前两次遗留问题的总爆发，由英国数学家罗素用通俗的理发师悖论的方式提出，一下子震撼了数学界。集合论陷入对客观世界不可描述的尴尬境地。到底是先有蛋还是先有鸡？仅不给自己理过发的理发师到底该给自己理还是不理？到底是矛厉害还是盾厉害？上帝到底能不能制造出一个连自己也搬不动的石头？由全集作为元素构成的新全集到底是算元素还是算集合？白马到底是马还是白？说自己不对的人到底说了真话还是说了假话？莫衷一是对不对？诸如此类的问题都是第三次数学危机的具体显示。
为了解决这次危机，数学家纷纷试图给出解决问题的处方。从解决问题的办法性质进行分类，历史上出现了三大学派：一是以罗素为代表的逻辑主义学派（收敛延续），二是以希尔伯特为代表的形式主义学派（等值延续），三是布劳威尔以为代表的直觉主义学派（发散延续）。罗素的悖论是逻辑主义的自省，人们发现光靠逻辑不能发展数学，除非对现有逻辑进行重新审视。形式主义者自从哥德尔的横空出世，一下子陷入绝境，几乎所有的形式都是自戕的。罗素、康托尔以及哥德尔都不约而同地用逻辑和形式的工具否定了逻辑和形式自身。康托尔用金色对角线法则证明了实数不可列，自然数无所不能的构造功能从此失效。这是康托尔让逻辑和形式崩溃。哥德尔证明，有限系统不能自行产生新系统，公理除了可构造自己的有限系统外，对系统外的命题将一筹莫展，也就是说一定存在命题，是公理系统无法证明或证伪的，哥德尔把它叫着不完备定理。因此数学只能靠先验的直觉来完成。康德说，数学是对时间的直觉。看上去，直觉主义似乎完胜，但是很多人对直觉主义的自说自话，也非常不满，过于跳跃，阳春白雪而脱离大众，直觉主义陷入不可知论。最后逻辑主义学派与直觉主义学派还是都共同回到了完善形式，完善公理系统。希尔伯特的声音是那么的铿锵有力：我们必须知道，我们必将知道。显然数学界在用直觉主义思考，在用形式主义做事。形式在艰难进步，逻辑在艰难进步。这是一场直觉与理性的较量。康托尔制造了连续统悖论，哥德尔消弭了连续统矛盾，两人所唱的双簧几乎左右了现代数学的发展。
现代数学大厦基本上是建立在康托尔的集合论的数学体系上的，另外在哥德尔定理的推动下，开始各自独立地发展数学分支，新数学呈现蓬勃发展的态势。直觉主义数学比较散，缺乏能以一贯之的精准表述。形式主义者善于做到，可不善于想到。直觉主义者善于想到，可不善于做到。新数学发展极需要把两者结合起来共同前进。本文要谈的就是认为知无穷者康托尔对无穷大的分层，似乎还有更好的表述，实数真的不能与正整数一一对映吗？他的证明是否有漏洞？另外要谈的就是哥德尔的不完备定理能不能换个角度理解？如果数学孤立的问题太多，数学就成了语言学的一个分支，而不是语言学仅仅是数学的一个分支。数学的本质不仅仅是可量化的，更是可序化的。可惜的是，哥德尔定理成为很多数学家们不作为的借口，而不是拿来作为应该更加谦卑的理由。同样可惜的是，康托尔的集合论思想，没有拿来探索无穷世界，而是制造了更多的相互不搭界的系统鸿沟。由于直觉主义者的思想缺乏连贯性，导致精神压力特大，呈现分裂型人格，结果是康托尔疯了，哥德尔自杀。这两位数学大家的命运悲剧，迫使我们去反思他们的思想发现，尽管康托尔和哥德尔都是宗教徒，但仍然在更高层次上这两位天才还是不自觉地切断了通往究竟世界的源头。
先介绍下哥德尔，他是20世纪的一位伟大的数理逻辑学家，生于1906年的奥地利，1930年在维也纳大学获得博士学位。哥德尔对希尔伯特的形式化目标提出质疑，他想说明这个目标是不可能达到的。他认为，数学的任务不能只是逻辑推理，还必须对外界进行观察，不断用新的发现来丰富数学，而这些新的发现，是不能使用原来的数学知识去证明的。这样他就想到了要去证明他的上述想法。数学发展更多靠的是发现的，而不是发明。回到了康德的数学是对时间的直觉这一判定上来。
尽管结论是质疑逻辑的，可是哥德尔还是很想用逻辑的方式来证明这个结论，证明当然是极其困难的。因为它要洞察全部数学推论能力的界限，就在哥德尔一筹莫展的时候，有一个有名的问题给了他很大的启发。这个问题就是：判定“这句话是假话”究竟对不对？
如果你说这句话对，那你就得承认这句话是假话，因为这是这句话本来的意思；如果你说这句话不对，你就承认这句话是对的了。不管怎么回答，都会导致矛盾。
哥德尔模仿这个问题也写了一句话：“这句话是不能证明的。”他想，如果能从某些前提出发证明这句话是对的，那你就得承认这句话是不能证明的，那你就陷入矛盾；如果你能证明这句话不对，那你就承认这句话是可以证明的，你又怎能证明它是错误的呢？可见，从任何前提出发，你既不能证明这句话对，也不可能证明它不对。
这样，哥德尔就得出一个结论：任何一门数学中都有这样的东西，从这门数学中的已知事实出发，你不可能证明它对，也不可能证明它不对。这也就是说，有些无矛盾性命题是不可能证明的。这看起来似乎简单，但却具有重大意义的发现，被数学界称为“不完备性定理”，也叫“哥德尔定理”。当然，哥德尔定理的真正完成的证明，并不是这样的书写，但他的核心部件无疑是这样的。若用自然语言分析的话，任何证明都是由句子和步骤构成的，而被完成的证明通常都在有限的系统中，因为句子是有限的，步骤是有限的，有限的文字排列出来的句子必是有限的，有限的步骤构造出来的证明容量一定也是有限的；那么这就存在一个有限之外的判定，面对这样的判定，有限的公理体系是无法完成证明的，因为所有信息会相互证明存在一个封闭的系统，会相互自毁而不能跳脱出去，所有的逻辑悖论都是如此，从而对系统外的世界判断会一筹莫展。
众位看官，有没有发现哥德尔定理的局限性呢？哥德尔只是完成了，对未知判定只能做不确定证明，存在无法证明或证伪的真理。对哥德尔理解的误区主要表现在，一是不完备定理成为不可知论的借口，不可知的判定无法证明，得到这样一个结论除了有警示效果外，其它则意义不大。如果某个判定我都不知道它，又何必关心它能够被证明或证伪呢。哥德尔定理的意义在于，永远存在不可思议。如果那种存在永远思议不到，对观察者而言又有何意义呢？因此需要对哥德尔定理进行新的兼容性理解，无法证明也无法证伪的z系统确实是存在的，这是不完备定理。这样的z系统大多为无穷系统，由于z系统不可一劳永逸地完成直觉，只能意会不可言传，因此z系统不能替代一切可给定的对象，给定定义域的系统依然受逻辑法则制约，依然受排中律制约。面对给定对象，要么可证明，要么可证伪的。矛盾的事物的确存在但不可证明亦不可证伪，矛盾的事物不存在且已经被矛盾本身证否。这是目前哥德尔定理的官方理解。
那么是否存在哥德尔定理的互补定理呢？即哥德尔完备性定理呢？本文就来说说哥德尔完备性定理。我们知道，四色猜想是否在无穷平面成立，这很难证明，用哥德尔不完备定理似乎可以说明这一点，但在任意给定的封面平面中则是可以证明的或可以证伪的，不用哈肯的计算机技术，也能完成纯数学的文本证明。理由是，哥德尔定理是在定义域不确定的前提下才成立的，但一经确定则是完成可证明的，或是可证伪的。如今很多学者把哥德尔定理滥用，导致学风懒惰，毫无原则，甚至向诡辩的方向滑落，已堕入顽空，甚是可悲。把哥德尔定理理解为人类永远存在无知的领域，故我们需要谦卑对待一切，不要因已知的总是有限而绝望，因为幸好存在未知，目标才永不会泯灭，这才是积极的理解；而消极地认为彼岸永远不可抵达，从而陷入悲观，则是致命的误解。哥德尔的最后自杀是这一思想的危险走向，除非把死亡理解为涅槃，哥德尔的不完备性定理才有积极的意义，否则哥德尔定理定会被恶意应用，学术界将陷入一片掩耳盗铃的悲剧中。因此，重释哥德尔，重释康托尔定是当代学界的重大事件。哥德尔用矛盾思维判活一个对象，但跟观察者无关，哥德尔用矛盾思维判死一个对象，但让观察者绝望。前者有警示作用，却不知道如何抵达，后者有参照作用，却不知道如何摆脱。这是哥德尔的烦恼，唯有哥德尔的互补定理即完备定理才可以解决这个烦恼。
我们来看是先有鸡还是先有蛋呢？按哥德尔不完备定理来推论，它显然是一个不可证明或不可证伪的命题，或是一个能证明或能证伪的荒谬存在。前者是对的，但不可能接地气，显然同观察者无关，后者是错的，虽愿接地气，但看不见一丝生机。就像一个难缠的爱人，你要跟她结婚，她就死在你面前，你要不跟她结婚，她就无影无踪。我们终于发现，哥德尔不完备定理只有在哥德尔互补定理即完备定理成立的前提下，才能发出耀眼的光芒。这就是对哥德尔定理新的兼容性理解。
因为任何尚有具象的存在，都不可能穿越永恒的时空，既然物性没有贯穿永恒的时空，因此他们在时间节点上是有定义域的，且定义域有界。先有鸡存在先有鸡的定义域，先有蛋存在先有蛋的定义域，它们在不同的时间定义域中，可以分别成立，因此先有蛋和先有鸡在他们各自的定义域中都可以分别成立。因此它们是完备的，我们称之为完备定理，而不完备定理，是完备定理的一个推论，正如局部在整体中，这是有名的逻辑公理之一。我们假定有不同的事物都穿越了永恒，于是矛盾就产生了，我们把它叫着荒谬存在；我们再假定有不同的事物都穿越了永恒，于是不完备证明开始了，它们是不可证明或不可证伪的存在。有穷域的推论，可以顺利进行的时候，无穷域的推论才能安然无恙。没有一样东西能够贯穿永恒，万物在永恒面前都如梦幻泡影，如露亦如电，因此都是有限域的，故他们的性态就没有一样是可以贯穿永恒的，因此万物的本性归1，即归入永恒，那么探讨万物的个性即缘起的就应该是有，而探讨本性的即自性的就应该是无，缘起的有，是小有，自性的无是大有，是恒有，因此探讨缘起，就是探讨有限域。
上文提到的第三次数学危机中出现的很多数学悖论，都可以用完备定理来解释。上帝到底能不能制造出一个连自己也搬不动的石头？很多逻辑学家说，这是一个自毁命题，从而证明上帝的万能不存在，或者用哥德尔的不完备定理来解释，上帝的万能是不可证明的。但完备定理可以给出另外一种解释，万能的上帝与永恒的时间同在，上帝的发现和创造只是永恒数轴上的一个个有限域，因此所有的系统都能分别成立，上帝让石头搬不动时，于是石头就搬不动了，这个事件在某个时间有限域中是成立的，上帝让石头被搬动时，于是石头就被搬动了，这个事件在某个时间有限域中也是成立的，他们连在一起构成上帝万能，因为分别成立，所以并不是一个矛盾事件。我们证明数学命题几乎都是在给定定义域的前提下进行的，正因为如此，希尔伯特才会喊出“我们必须知道，我们必将知道”的豪迈口号。
这里谈到无穷，就必然要提起康托尔。接下来我们将谈康托尔，因为康托尔是一位对无穷性有深刻认知的数学家，他首次对无穷性进行了分类。无穷性体现了一种对连续性的理解，能够深刻地反映空间世界，但不能深刻地反映时间世界，唯有无漏性才能深刻体现了一种对离散性的理解，一种对时间的直觉。我们下文将谈到，如何对康托尔进行新的兼容性理解。
所有的无穷项都是一一映射的，因此从项数上是不可比较的，我们之所以可以比较无穷，是因为所有的无穷项之间，它们的相邻项间距是不同的，因此可以比较。康托尔开创了对无穷性的分层，开辟了对无穷大∞的分层，开辟了对无穷小0的分层，这是他的伟大之处，非常之了不起。但同时他又建立了势的概念，认为存在比无穷大更大的一一映射，存在无穷自然数都无法胜任的一一映射，这是康托尔并不完美的创造，略有画蛇添足之感，他认为实数就无法同自然数一一映射，实数更大一些更多一些。虽然他对新数的离散性有所发现，如超越数的发现等，但在数学构造方面却不幸失去了连续性，陷入到了连续统的困惑中。后来哥德尔却用不完备性来打圆场。希尔伯特曾经把连续统假设放在23个未解难题之首，可见其重视，但后来哥德尔定理参与下的暂时解决并不让人心悦诚服。
康托尔对无穷性的切割缺乏连续，过于跳跃，但在彻底跳跃方面也不够，尽管意义非凡，仍然成为数学发展的障碍，克雷内克对他的批评不无意义，尽管有些专横霸道。无穷集合与无穷集合之间作为映射分析，是能够实现一一映射的，只是集合元素中相邻项之间的间距不同罢了。但康托尔却证明了实数和自然数之间不能实现一一映射，有理数则可以。这恐怕是数学史上的一次最大规模的以讹传讹了。
康托尔关于实数多于自然数的证明并不完备。康托尔曾用金色对角线法则、一一对应规则和反证法，证明实数的数目大于自然数的数目。他的基本思路是这样的：随便选取实数轴上的一个连续区间，例如(0,1)，容易证明，这个区间上的实数数目与全体实数数目一样多（可以建立一一对应关系），假如自然数与(0,1)之间的实数一样多，则可以列出一张对应表，如下
1对0.a_11a_12a_13……
2对0.a_21a_22a_23……
3对0.a_31a_32a_33……
现在有这个一个数b=0.b_1b_2b_3……，满足b_i不等于a_ii，即b的小数点后的第一位数与第一个实数的小数点后第一位数不相等，即b的小数点后的第二位数与第二个实数的小数点后第二位数不相等，依次类推。则b不同于表中的任意一位实数，故这样的一一对应关系不可建立，说明实数的数目多于自然数的数目。
很多学者认为也可以这样操作，对于(0,1)区间的任意实数a=0.a_1a_2a_3...a_n，我们令其对应于a_n...a_3a_2a_1，则(0,1)区间的所有实数都有唯一一个自然数与之对应，故可以说自然数的数目与实数数目一样多。
我们还可以这样理解，虽然实数在很多局部区域都能找到无穷，自然数只有一个无穷似乎无法应对，但照样可以找到一种方法可以完成一一映射，正如有理数和自然数之间能够完成一一映射一样。按理说，有理数局部区域也照样存在无穷，(0,1)区间就可以找到无穷多个真分数，按理说整个自然数集合都要穷于应付这段区间的一一映射了，哪有资源去应付其它区域的一一映射，但康托尔通过将折叠打开的方法找到一一映射的关系，因为很多无穷都是次第发生的，故可以永远将无穷次第滞后，这样一来自然数就可以同有理数一一映射了。同样的道理，无理数中的很多区域确实存在新的无穷，但一样可以次第往后位移，因为无穷性逻辑上不可能同时发生，因此可以像希尔伯特旅店那样永远不断地将新客源插队进入用自然数编码的无穷客房中。所有被插队填满的位置，都可以用无限后移的方式获得新的补充位置，因此不用担心任意波任意个数的客源插队进来。(0,1)区间有无穷客源插队，那么没关系，自然数通过无限后移可以获得位置补充。(0,1)区间若为有理数，就相当于有限个素数之积乘以0.0-010-01之循环结构的无穷数，(0,1)区间若为无理数，就相当于无限个素数之积乘以0.0-01之或循环或不循环结构的无穷数，总之都可以通过无限后移的方式获得位置补充，如此一来，自然数的数目与实数数目就一样多了。
其实根据费马螺线模型还可以获知，多维空间都是由一维空间折叠完成的，无论是实数和复数以及三元数四元数还是n元数，都重叠在一维空间数中，因此这些数都与自然数一一映射。看来区分无穷性并不能靠康托尔的势概念来区分，只能靠无穷数列中的相邻项间距大小来完成。素数数列可以同自然数一一映射，这是两个不同的无穷量，这两个无穷量如何比较呢？可以由相邻项间距的复杂程度来比较，自然数数列的相邻间距无疑是最简单的，素数数列的相邻间距无疑是复杂的，素数个数在素数序的素数无疑是更复杂的，从这个角度来区分不同的无穷，似乎才是有效的。康托尔的势乃是不同数列相邻间距不同的折射。康托尔成在金色对角线法则，败也在金色对角线法则，他用对角线法则成功证明了有理数和自然数是一一映射的，却用对角线法则反证了实数不能一一映射。
显然康托尔没有将金色对角线法则用得彻底，要用得像费马螺线模型一样，就不会判定实数不能一一映射了。事实上对角线不但可在平面中展开，还可以在三维空间，乃至多维空间展开，美妙的对角线法则，依然可以大有用武之地。康托而将不能一一映射的无穷集层层升级，并用势概念来区分这种升级，认为自然数集和有理数集都是阿列夫0，实数集是阿列夫1，一切可能的数学函数是阿列夫2，阿列夫数可无限升级，阿列夫0和阿列夫1之间还可以切分出无数个阿列夫数，这就是连续统假设。虽然康托尔所描述的无穷体系是存在的，但不是自洽和谐的。最大的问题是与自然数脱节。用无穷集合数列相邻项间距差的区分可完全取代阿列夫数，无穷性的区分依然可以圆满完成。
人们对无知之幕的敬畏，确实急需要康托尔，哥德尔这两位大家，数学发展需要直觉主义者注入新鲜空气，需要逻辑主义者和形式主义者兢兢业业地梳理体系，人们对新生事物的接纳是极不容易的，没有相应的知识背景就会顽固地抗拒。正如狄德罗这位唯理论者，反教权主义时代的知识界领袖所说：“让我相信上帝，必须让我能摸到他”。既然摸不到上帝，故没有上帝。但我还是要请问下已故的狄德罗，摸不到的地方，是不是同你的触觉相邻，因为摸到的都可以移走，那剩下的就变得可相邻，既然可以相邻，那算不算可摸到？狄德罗会继续说，既然可以被我摸到，那摸到的就不是上帝，诚然确实不是上帝。可狄德罗也不能由此就推理出上帝不存在，充其量只能推理出，上帝摸不到其尽头。可见狄德罗这位摸着石头过河的人，其实是在通往拜访上帝的路上，尽管嘴上死不认账。可见人类是多么需要天才数学家的思想，否则很多文化巨匠都会迷失在思想的迷宫里。不接地气的天堂，与不能挣脱的地狱，对观察者而言的确都没有多大意义。康托尔的可区分无穷依然不接地气，尽管可以对无穷进行分层，康托尔的无穷还存在自毁性，康托尔的0运算，存在极大的孤立，0通过自运算，没有找到一项算法，是可以得到新数的。可以得到0的算法大多都不能进行逆运算。0只是无穷量，而不是极限量，微积分的出现，让0成为极限量，这一理解意义非凡。无穷是等量延伸运算，极限是不等量递进运算。极限思维给数学带来质的飞跃。康托尔与哥德尔一样尽管都有宗教信仰，但仍然对上帝的万能有些悲观了，用无明截断了源头，何尝不是潜意识中的掩耳盗铃。
如同达尔文，他对生物标本兢兢业业地采集和分类，我很敬畏。他的观察很了不起，可惜他根据观察所得到的进化观结论却很不咋的，他的物竞天择的进化论是不靠谱的，是单方面宣布独胜。虽然他的自我进化观可部分采纳，但认为那是靠打败对手而进化的则不敢苟同，求败和求胜者都有可能双双得到进化。简单的证据是，儿女向父母要东西，整体上说一定是会要成功的，儿女是夺得者，父母是被夺得者，如果按物竞天择的进化观念分析，父母是被淘汰的，儿女是被进化的，但事实上一个家庭的领导人依然是父母。作为个体观察者，给与和获得都能发生深刻的觉醒，失败和成功都能产生深刻的觉醒，都能得到进化。一个多方面共同参与的事件，是可以多赢的，而不是宇宙终极者的完胜。社会达尔文主义和经济达尔文主义都忽视了原来所有成员都是可以共同进步的，不存在幸运者单方面宣布胜利，尽管人家可以宽容你单方面宣布胜利。觉醒不是向对方占有，而是永远不把对方失忆，不失忆是可以共赢的，无论胜败，如果失忆，即便胜利也一样迷惘，别说失败。可见失忆就是一种不自觉的掩耳盗铃。唯有觉醒，才是真正的自由。
可以想见很多腐败现象，大多都跟对源头的失忆有关。于是有人感叹，上帝监管不严，严重渎职了，眼耳鼻舌身意都严重迟钝老化了，乃至干脆认为，根本就不存在这样的监管者，什么顶上三尺有神明，那都是骗人的把戏。如果这样认知，自己就必定是腐败的源头。其实莫怪上帝双目失明，乃是撒旦掩耳盗铃。那些自己看不见想不到的，就动辄推理人家也看不见想不到，就是典型的掩耳盗铃。盗铃者认为这是推己及人、格物致知所得到的客观结论，殊不知推己及人是指已知的世界可以普世通约，但未知的世界则不可盲目普世通约。我会的，大家一定都会，可通约；我不会的，不一定大家也不会，即空集不可通约。人家会的仍然可通约，到头来发现自己不会的乃是假象，唯有空集和全集不可通约，凡可数对象皆可通约。可掩耳盗铃者则把可数对象也认为不可通约，把自己的空集认知强加给他人，切断了源头。
历史上常常上演这样切断源头的规模事件，最显著的一次是尼采和达尔文等宣告上帝死了，具有自由意志的超人诞生，这是一次大规模的掩耳盗铃；第二次是霍金和计算机等宣告哲学死了，唯有科学永存，这也是一次大规模的掩耳盗铃；第三次是拉登和民族主义者等宣告科学死了，只有权利至上，这同样是一次大规模的掩耳盗铃；第四次更绝，雷曼兄弟和华尔街等宣告政府歇菜，金钱才是万能的，这恐怕是最近的一次大规模掩耳盗铃。先是尼采杀死了醒悟，收获到了直觉，再是霍金杀死了直觉，收获到了逻辑，接着是拉登杀死了逻辑，收获到了权利，最后是雷曼兄弟杀死了权利，收获到了契约。如此不断堕落，没有道德底线的为所欲为将不断上演。这一切都源自于无视存在幕后监管而产生，把日用而不自知的生命之源给切断了，只因一时的贪婪和恐惧。凡是用具象霸占永恒，都是一种切断源头的做法。不完备非无穷的数学思想，某种程度上推动了数学的发展，同时也障碍了数学发展。我们需要新的兼容性理解。
其实那些盗铃成功的窃贼，同始终无铃的穷人，究竟谁更富有呢？显然因掩耳盗铃而失聪的窃贼更贫穷。一个自己失明的人，只要相信有明眼人存在，那他还不算一个真正的瞎子，他还可以请明眼人帮他带路，但是如果一个人自己能看见，却认为周围人都是瞎子，那他才是一个真正的瞎子，因为他所看到的世界极其有限，无限多双眼睛都不能使用了，这是自绝于人民，自关心门。可见几乎所有的悲剧都是自找的。欺神被神弃，骗人被人扁。人类的痛苦很多是因为数学思想不明而导致的。如果能解决数学困惑，那么就可以把很多人从痛苦中拯救出来。数学是人类探求自由的最锋利工具，如果数学都不自由，我们还能奢求什么呢！我们要解放自己，就要重新理解康托尔和哥德尔，我们必须觉醒，我们已然觉醒。
