玻尔与太极图(二)

叶阳红 原创 | 2013-09-05 11:33 | 收藏 | 投票
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玻尔与太极图(二)
 
谨以此文献给伟大的物理学家和哲学家玻尔教授发表氢原子理论一百周年
 
 
前文我们已经对玻尔与太极图的关系作了详细的探讨分析,玻尔与太极图之间存在的关系这是毫无疑问的。他在1937年应邀访问过中国,又在1947年获得的荣誉勋章上自己设计了太极图族徽。而现在着重要讨论的是玻尔理论与太极图之间到底有没有关系,这个问题是极其复杂的,因为前面我们也从不同的角度进行过分析,要解决这个问题的关键在于玻尔建立的是怎么样的一个理论。玻尔理论主要由两部分,一是对应原理,二是并协原理或互补原理。除了玻尔本身对原理的表述模糊不清只适用于哥本哈根学派之外,所有接触过和没有接触过互补原理的科学家都对这一原理论感到头痛,无法真正理解其概念。玻尔以及“互补原理”的成名要归功于爱因斯坦对量子力学的诘难。其实,爱因斯坦这样具有超凡智慧的人物发现相对论完全是凭空想象的,是用数学公式演化出来的,有些现象在现实物理中是不可能存在的。比如,到目前为止没有任何观察者或观察仪器的运动速度能够达到光速的水平,也没有谁发明了能够称出一个光子重量的装置等等。所以,爱因斯坦用他自己设计的光子盒与玻尔作辩论时注定要败北的。同样,我们在玻尔去世半个世纪以后再与玻尔探讨玻尔理论与太极图之间关系也是不现实的,也不可能得出与玻尔原本意思完全相同的结果。
为了避免不必要的麻烦,我们在这儿不再从玻尔的互补原理去直接分析,因为玻尔的互补原理指的是在不同实验条件下获得的有关原子系统的事实,未必能用单一的模型去解释,如电子的波动模型就是对电子的粒子模型的补充。在量子物理领域海森堡已经建立了测不准原理,简单地讲,测不准原理就是不能同时测出量子的位置和动量、能量和时间的确定值,即无法建立量子所处的时间和空间、速度、能量之间的确定关系,它们显示出了统计学关系。这些似乎与太极图理论“风马牛不相及”。
玻尔去世已经五十年了,由他提出的玻尔原子模型也已经整整一个世纪了。随着量子力学理论的快速发展,玻尔原子模型暴露出许多不尽人意的地方,慢慢被后人所遗忘。其实玻尔原子模型的创建是玻尔获得诺贝尔奖的真正原因。玻尔一生最重要的工作是将量子概念引入原子结构,成功地解释了简单原子如氢原子的光谱,以及将这个想法推广到更加复杂的原子中去。
玻尔原子模型将经典力学的规律应用于微观的电子,不可避免地存在一系列困难。根据经典电动力学,做加速运动的电子会辐射出电磁波,致使能量不断损失,而玻尔原子模型无法解释为什么处于定态中的电子不发出电磁辐射。玻尔原子模型对跃迁的过程描写含糊。玻尔原子模型引入了量子化的条件,但它仍然是一个“半经典半量子”的模型。因此玻尔原子模型提出后并不被物理学界所欢迎,还遭到了包括卢瑟福薛定谔在内的诸多物理学家的质疑。玻尔曾经的导师、剑桥大学约瑟夫·汤姆孙拒绝对其发表评论。薛定谔甚至评价说是“糟透的跃迁”。
随着光谱实验水平的提高,人们发现了光谱具有精细结构。1896年,阿尔伯特·迈克耳孙爱德华·莫雷观察到了氢光谱的Hα线是双线,随后又发现是三线。玻尔提出这可能是电子在椭圆轨道上做慢进动引起的。1916年索末菲在玻尔模型的基础上将圆轨道推广为椭圆形轨道,并且引入相对论修正,提出了索末菲模型。在考虑椭圆轨道和相对论修正后,索末菲计算出了Hα线的精细结构,与实验相符。然而进一步的研究发现,这样的解释纯属巧合,Hα线的精细结构有7条。玻尔原子模型无法揭示氢原子光谱的强度和精细结构,也无法解释稍微复杂一些的氦原子的光谱,以及更复杂原子的光谱。因此,要完全解决原子光谱的问题必须彻底抛弃经典的轨道概念。
然而玻尔原子模型是玻尔用数学方法构建的原子结构模型,重新了解玻尔原子模型的创建过程也许对我们会产生意外的收获。
1911年,英国物理学家卢瑟福根据1910年进行的α粒子散射实验,提出了原子结构的星模型。在这个模型里,电子像太阳系行星围绕太阳转一样围绕着原子核旋转。但是根据经典电磁理论,这样的电子会发射出电磁辐射,损失能量,以至瞬间坍缩到原子核里。这与实际情况不符,卢瑟福无法解释这个矛盾。
1912年,正在英国曼彻斯特大学工作的玻尔将一份被后人称作《卢瑟福备忘录》的论文提纲提交给他的导师卢瑟福。在这份提纲中,玻尔在行星模型的基础上引入了普朗克的量子概念,认为原子中的电子处在一系列分立的稳态上。回到丹麦后玻尔急于将这些思想整理成论文,可是进展不大。
1913年2月4日前后的某一天,玻尔的同事汉森拜访他,提到了1885年瑞士数学教师巴耳末的工作以及巴耳末公式,玻尔顿时受到启发。后来他回忆到“就在我看到巴耳末公式的那一瞬间,突然一切都清楚了,”“就像是七巧板游戏中的最后一块。”
1913年7月、9月、11月,经由卢瑟福推荐,《哲学杂志》接连刊载了玻尔的三篇论文,标志着玻尔原子模型正式提出。
由此可见,玻尔原子模型是建立在普朗克的量子概念和行星模型的基础上电子绕原子核转动的运动模型,创建模型的最后灵感来自于巴耳末公式。巴耳末公式瑞士数学教师巴耳末将氢原子的谱线用数学公式表达的一种形式。
牛顿最早用三棱镜把太阳光分解成7种颜色的连续光谱,拉开了用光谱观察研究物质的序幕,人们在后来的各种实验过程中发现了许多物质的光谱。每种元素都有自己独特的“特征光谱”,这些“特征光谱”就好像各种元素的“身份证”或“名片”。到了19世纪末,光谱学已经积累了大量实验数据、资料,成了一门精确极高、实用性很强的实验科学。由于光谱学的非凡成就,人们对光谱线所对应的波长数据产生兴趣,企求从这些杂乱的数据中找出一种神秘的规律。那时,巴耳末(瑞士数学教师)已年近花甲,因为是获得过博士学位的数学老师,尽管过着平静的教学生涯,也突然对光谱的数据发生了兴趣。很快他从氢的4 条光谱线的波长中找到了一个规律,其波长可以用一组数学公式表示。这一组数学公式就是现在人们熟知的巴耳末公式:
 
式中:入为氢原子光谱波长,R里德伯常,n 为自然数3、4、5…
用不同的n代入公式可以得到不同的光谱波长入。当巴耳末得到14个波长居然与已测出的氢光谱值达到惊人的一致时,相信自己已揭示出光谱的神秘规律,于1885年把公式公布于众。
而后,1889年里德伯(瑞典物理学家)也提出了表示原子谱线的经验公式即里德伯公式:
式中:入为氢原子光谱波长,R里德伯常数,n1、n2(n1﹥n2)为自然数。
里德伯公式是比巴耳末公式更加普遍地表示氢原子谱线的公式。巴耳末公式是里德伯公式在n=2的条件下的特例。
非常遗憾的是,巴耳末公式公布于众后,光谱学的分析虽然高度精密,但它所具有的规律却一直是纯经验的规律,人们并不了解它们的物理含义,找不到一个像样的理论来解释这一规律。
20世纪初期,德国物理学家普朗克为解释黑体辐射现象,引入了量子概念。普朗克从“黑暗”中找到了“光明”,认为辐射的能量是不连续的、是一份一份分立的,其最小的能量为,h为普朗克常数。稍后,1905年爱因斯坦则大胆提出了光量子假说。爱因斯坦认为光的能量在空间分布也是不连续的,光不仅仅只是在辐射和吸收时呈现量子化,而且在空间传播时也是不连续的。光像一小包一小包的能量子在空中运动、辐射、吸收,这些一小包一小包的能量子他取名为“光量子”(后被称为“光子”)。一个光量子最小的能量正好是普朗克的能量子,即
当玻尔看到了巴耳末公式后,一切都清楚了。巴耳末公式可以转换为氢原子光谱的频率的计算式:
式中:v为氢原子光谱频率,K为常数,n1、n2为自然数。
这些氢原子光谱用普朗克的能量子理论可以解释为来自氢原子内部辐射的光量子,玻尔把原子结构和巴耳末公式联系起来,用量子论来解决原子结构的稳定性问题。辐射、吸收的能量既然是不连续的,只能采取某些符合普朗克的能量子的分立值。绕核运动的电子应该与这些分立值相对应,每个轨道具有确定的能量,在这些轨道上运动的电子处在稳定状态。将巴耳末氢原子光谱频率公式两端同乘以普朗克,等式右边的差为能量差,等式左边正好是发射频率为v的光谱辐射。玻尔把这个“能量差”定义为电子从一个稳定态“跃迁”到另一个稳定态时所需的能量。
玻尔还假设:与经典电磁理论相反,稳定态不发生辐射,只有在两个稳定态之间的跃迁才发生辐射,辐射的特性相当于以恒定频率作谐振动的带电粒子按经典规律产生的辐射,但频率与原子粒子的运动不是单一关系,而是由下面的关系来决定:
 
 
式中:h普朗克常数,En和Ek是原子在两个稳定态的能量值,n与k为量子数
反之,用这种频率的电磁波照射原子时,可以引起吸收过程,使原子从后一个稳定态跃迁到前一个稳定态。
玻尔将量子论引入到了原子结构,建立起光谱与原子模型之间的紧密联系。同时可以用经典理论方便地推导出稳定态电子所具有的能量。
电子的稳定态能量:
把电子跃迁前的稳定态称为基态En,跃迁后的稳定态称为能态Ek,这样,电子辐射的能量就是吸收能量后的能态与基态能量之间的差额:
当n=1时,电子稳定态能量为:
式中:m 电子质量,e为电子电量,h普朗克常数。
这是氢原子的最低稳定态能量,可以设定为标准电子稳定态能量,其它量子数的稳定态能量则为
能态与基态之间的能差:
至此,我们可以说,玻尔用极其简洁的数学表达式阐述了原子结构的光谱现象,尽管他的经典学演绎十分繁琐。但这个原子模型最大的缺点在于玻尔将原子内部的电子轨道固定并分立化,由此得出两个轨道之间转换时因电子稳定态能量的改变而发生“跃迁”。超弦理论告诉我们,量子数的变化不一定改变量子的轨道,正如一根琴弦发生振动一样,琴弦能够产生不同的声音说明琴弦振动的频率不同,这些频率与这根弦的某个基频有整数倍的关系,相当于各种音调的量子数。所以量子数表征的量子所处的轨道与真实的电子轨道是有区别的。由此可见玻尔的“跃迁”理论是很“糟糕”的电子发光机制。
同样遗憾的是,玻尔推导的电子两个稳定态的能量差公式,仍然只是一种抽象的数学表达式,人们并不了解它的真实的物理含义,找不到一个像样的理论来解释这一规律。玻尔力图用测不准原理、波粒二象性以及互补原理来解释,遭到众多物理学家的反对,他与爱因斯坦为此足足争论了半个世纪,最后还是无果而终。
现在我们暂时撇开物理解释不谈,单从数学角度对能量差公式进行变换,看看能否像玻尔那样发现奇迹。我们在能量差公式发现量子数n与k满足勾股定理条件,两者之间的关系可以解释为直角三角形邻边与斜边的对应关系。
图一   氢原子量子轨道
玻尔在建立原子模型时还设定第三个假设:如果电子绕核运转的是圆轨道的话,它的角动量也应是量子化的,即
    
 
按照这一假设,我们取为单位长度,可以用直角坐标绘制出每个角量子化的图形,如图一所示。我们把此图称之为量子轨道图,理想的量子轨道是圆形。在图中用几何法可以简便地建立起量子数n与k之间的直角三角形关系。
在图中我们画出了8个量子轨道,每个量子轨道与X轴相分别相交于A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8。当n=2时,过A2作垂直于X轴的直线L2,L2与每个量子轨道分别相交于B3、B4、B5、B6、B7、B8。由O、A2、Bk三点组成的三角形为直角三角形,设OA2与OBk两条线组成的角为θ,则量子数n与k之间可以转换成角度θ的表达方式,它们之间的关系如下:
能量差公式中的量子运算式相应可表示为:
,则上式为
所以n与k量子轨道之间的能差为
 
  
电子发光的频率为
电子能差和光谱频率算式中只出现n量子轨道的能量、频率和一个三角函数。这在图一中可以找到答案。过原点O和B3、B4、B5、B6、B7、B8各点分别作直线与n量子轨道相交于C3、C4、C5、C6、C7、C8,电子能差和光谱频率只取决于电子所在的量子轨道的能量、频率和一个相对于原点(原子核)的角度。而由这个角度组成的三角函数,在《太极图的数学模型探讨》一文中被定义为太极因子(阴因子)。由此可见,玻尔的原子结构模型隐含着太极图的阴阳特征,这正是玻尔苦苦追索的无法用言语描述的“互补原理”。因此,我们完全有理由说玻尔理论与太极图有着密切的关系。玻尔的原子结构模型中太极因子的存在就是明证。
用太极因子表示的氢原子量子轨道能差和光谱频率如下:
 
式中:v为氢原子光谱频率,h普朗克常数,E1和En是原子在两个稳定态的能量值,n、k为自然数,为氢原子光谱太极图观察角。
用上述数学公式我们可以绘制出氢原子能差或光谱太极图,如图二所示。该图以观察角,以某一量子轨道的稳定态能量值或光谱频率为外圆半径,中间曲线呈S形分布。无论是能差太极图还是频率太极图,虽然变化的值可以是连续的,对应的角度却是分立的、不连续的,因为中的n与k值只能取整数。
 
图二 氢原子能差或光谱频率太极图
现在我们已经非常清楚,之所以玻尔只能意会可以用太极图象征他的“互补原理”,是因为人们根本没有找到太极图的正确的表达方式,一种用数学公式表现的形式。最近我们从日月的交会中、从月相的现象中发现了太极因子,从而破解了太极图。太极图不愧为宇宙模型,我们可以运用它来解释天地间万事万物的运化规律,就连量子力学最原始的原子结构光谱现象也包括在内。从此,玻尔的“互补原理”连同他的氢原子结构模型都可以应用太极图理论进行描述,现代物理学特别是量子力学会变得更加简洁而明了。有关如何应用太极图理论诠释玻尔的氢原子模型问题有待于我们作深一步的探讨。
 
 
 
 
 
 
参考文献:
1.《太极图的数学模型探讨》《邵雍诞辰1000周年国际学术研讨会会议学术论文集》第96页至104页北京三式乾坤信息技术研究院2011年11月编印
2.《月相的太极图演变规律探讨》《第14回世界易经大会暨第22届周易与现代化国际讨论会论文集》2011年9月出版
3.《太极坐标系》《邵雍诞辰1000周年国际学术研讨会会议学术论文集》第105页至110页北京三式乾坤信息技术研究院2011年11月编印
4.《从日晷到太极两仪图的演变过程探秘》《中华周易文化杂志第三卷》第56页至66页中国周易发展研究院2012年5月编印
5.《玻尔“并协原理”与〈八卦太极图〉》作者李仕澂《周易研究》068-076页1994年第4期
6.《玻尔传》作者杨建邺长春出版社1999年1月第1版
7.《纪念戈革—兼论对应原理、互补原理及EPR等》作者卢昌海2008年5月5日互联网

 

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观天地自然之象,明太极阴阳之理,寻科学规律之法,探宇宙变化之妙
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