内容提要: 本文在分析探讨太极因子特性及其相互作用关系的基础上，运用三角恒等变换原理，再度引入自然因子的概念，企求利用普遍存在的最简单的三角函数特性及其相互作用的关系来诠释人们所能观察到的各种自然现象。分析表明，自然因子同样具有阴阳、周期循环等特性，可以相互产生和合、差合和交合作用。对自然因子的相互作用与太极因子相互作用进行分析比较后发现，太极因子不仅可以由原太极因子转换形成，还可以由自然因子自身相互作用产生。而太极阴阳因子和合作用表现出有的状态、自然阴阳因子和合作用表现出无的状态，让我们联想到老子万物从无到有、从有到有、从有到无之间的阴阳变化规律。用雷达图绘制的自然因子、太极因子的几何图形能够正确反映出太极两仪图曲线和相互转换的过程，从而找到了一条用现代科学方法表述我国传统哲学的途径。
关 键 词：太极因子、自然因子、阴阳特性、无有、雷达图、相互作用
一、 前言
在《论太极因子的特性及其相互作用》一文中，作者对太极因子的特性以及太极因子之间的相互作用关系进行了详细的分析讨论。太极因子作为太极系统的基本要素，可以用一组特殊的三角函数——半正矢函数表示。太极因子的值取决于系统初始观察位置即初始观察角和系统的相对转动的角速度。从物理性质上可以认为它是系统某一时刻的状态在某一观察方位上的投影。
观察角的大小和角速度的大小形成不同的系统层次，并构成不同层次中的所有系统元素。每个层次的所有元素都可以用一个太极因子通式表示，即Y=（1+cos（θ-2nл/N））/2，式中N为系统的层次，n为系统层次中的元素序号。N、 n为整数，且N为偶数为2的倍数，n是小于N的从0开始的自然数。当N = 2、4、8、64时可分别与两仪、四象、八卦、六十四卦相对应。
在系统的每个层次中都能找到相互对立互补的太极因子，如阴因子Y- =（1-cosθ）/2和阳因子Y+ =（1+cosθ）/2。阴阳因子的交合作用会产生另一个层次的太极因子，如Y-·Y+=（1-cos2θ）/8= YY-/4 ，Y-和Y+为θ观察角的太极因子，YY-为Φ=2θ观察角的太极因子，是另一层次的太极因子。这种由一组太极阴阳因子之间相互交合作用形成另一个层次的太极阴因子或阳因子的相生现象，是《易传》所说的“生生之谓易”的真实体现。这一现象可以认为是父母与子女之间的传承关系，是确保生物系统生生不息、繁衍不止的运化规律。
从太极因子的演变过程中，我们还发现一种更简洁的方法，一种被称之为三角恒等变换的方法，即sin2θ=（1-cos2θ）/2=YY-或cos2θ=（1+cos2θ）/2= YY+。显然，三角恒等变换的过程也同样能够产生阴因子或阳因子，那么这个现象从物理上应如何解释吗？sinθ、cosθ是太极因子吗？它们与太极因子又有什么关系呢？下面就上述问题进行全面深入的探讨。
二、 自然因子的概念
在发现太极因子相互交合作用会产生另一层次的太极因子的同时，我们也发现三角恒等变换本身也是一个非常神秘的现象。因为sin2θ和cos2θ可看作sinθ和cosθ自身的积，即sin2θ=sinθ·sinθ和cos2θ=cosθ·cosθ。运用太极因子相互交合作用的思想，三角函数sinθ、cosθ自身的相互作用同样可产生新太极系统的阴因子或阳因子。
而在《论太极因子的特性及其相互作用》中，我们已经确立了sinθ、cosθ与太极阴因子、阳因子之间的关系，它们可由阴阳因子的差合作用获得:
H = Y+ - Y- = (1+cosθ)/2 - (1-cosθ)/2 = cosθ
H = Y+ - Y- = (1+sinθ)/2 - (1-sinθ)/2 = sinθ
sinθ、cosθ是最基本的三角函数，也是最简单的波函数。三角函数自身的积即sin2θ=sinθ·sinθ及cos2θ=cosθ·cosθ在物理上可以理解为系统的阴因子或阳因子是由两个相同的正弦波或余弦波之间的交合作用产生。所产生的阴因子、阳因子与正弦波或余弦波属于不同的两个层次。
YY- =（1-cos2θ）/2和YY+=（1+cos2θ）/2是观察角为Φ=2θ时的太极阴因子和阳因子，而sin2θ=（1-cos2θ）/2和cos2θ=（1+cos2θ）/2在观察角为θ的系统中则不能称之为太极因子。在观察角为θ系统中太极阴因子和阳因子为Y-=（1-cosθ）/2 和Y+=（1+cosθ）/2。
鉴于sinθ或cosθ是反映大自然变化现象的圆周运动规律，是最基本的三角函数表达式，为了区别于系统的太极阴因子Y- 和阳因子Y+ ，特将sinθ或cosθ定义为自然因子。我们用符号Y0表示自然因子。Y0 + 为自然阳因子，Y0 - 为自然阴因子。
自然因子是以观察角θ为变量的正弦或余弦三角函数，其含义是反映天地万物自然运化过程中所遵循的普遍规律。下面就自然因子所具有的特性作进一步分析探讨。
三、 自然因子的特性
为了便于对自然因子sinθ、cosθ的讨论，我们先将随观察角θ变化的函数用f(θ)表示，即
f(θ)= sinθ或f(θ)= cosθ
在平面直角坐标系上，函数f(θ)表示的图形是一个圆心位于原点以θ为观察角的单位圆，如图一所示。从图中可以看出，当观察角大于一个周角即2π(360°)时图形便会重复出现，这是三角函数的基本特性,即周期性，可用周期函数表示
f(θ)= f(θ±2Kπ)
式中K为自然序数，K=0，1，2，…
自然因子既可以表示坐标系中的投影值，也可以表示坐标系之间的转换关系。
单位圆上某一点的观察位置A（x,y）用该点在X轴和Y轴上的投影值表示
x= cosθ
y= sinθ
图一 平面直角坐标系图形 图二 极坐标系图形
单位圆上某一点的观察位置也可以用极坐标系表示，A（r ,θ）中的r为该点至极点的距离，θ为该点极径与极轴形成的夹角，如图二所示。
我们知道，平面直角坐标系函数与极坐标系函数之间可以相互转换。如单位圆的平面坐标方程为：
x2 + y2 = 1
用极坐标方程表示为：
r = 1，θ∈[0，2π]
两种坐标转换过程中的表达式为：
x = rcosθ= cosθ
y = rsinθ= sinθ
r = （x2 + y2） 1/2 =1
θ=arctan(x/y)
由于三角函数具有“周而复始”的变化规律，与中国传统文化阐述的事物运动变化规律极为相似，所以三角函数应该是中国传统文化研究中必不可少的数学工具。有关正弦、余弦三角函数的性质如值域、单调性、奇偶性、最大值、最小值等等在相关教科书中已经详细介绍，这里不再重复。
除了三角恒等变换以外还要经常使用的特性是三角函数的诱导公式。诱导公式是依据观察角在平面直角坐标系上的区间进行三角函数之间的转换。利用诱导公式可以很方便地实现如正弦与余弦之间或余弦与余弦之间的转换。
正弦与余弦之间的转换如下：
sin(л/2+θ)=cosθ
sin(л/2-θ)=cosθ
cos(л/2+θ)=-sinθ
cos(л/2-θ)=sinθ
正弦与正弦之间的转换如下：
sin(л+θ)=-sinθ
sin(л-θ)=sinθ
sin(-θ)=-sinθ
余弦与余弦之间的转换如下：
cos(л+θ)=-cosθ
cos(л-θ)=-cosθ
cos(-θ)=cosθ
这样，我们可以在实际情况中将不同的三角函数统一为特定的形式，能够直接明了地阐述相互之间的关系。如当同时出现函数sinθ、-sinθ、-cosθ时，就可以将它们转换为cos(л/2-θ)、cos(л/2+θ)、cos(л+θ)的相同形式，相互之间的关系一目了然。
四、 自然因子的几何图形
在平面直角坐标系上，余弦函数 f(θ)= cosθ与正弦函数f(θ)= sinθ可以看作以原点为圆心的单位圆上的一点在X轴和Y轴上的投影值，即
x= cosθ
y= sinθ
它们是以观察角θ为自变量的三角函数，通常可以用二维平面直角坐标系绘制图形。图三和图四分别表示以x、y为纵坐标，以θ为横坐标绘制的图形。它们是一个周期的图形，如果观察角θ不断扩展，那么波动图形不断向两侧重复延伸。
从图形可以看出，余弦函数和正弦函数的最大值为1，最小值为-1，函数的值在闭区间[1，-1]内变化。
图三 余弦函数x= cosθ平面直角坐标系图形
图四 正弦函数y= sinθ平面直角坐标系图形
比较图一和图三、图四，我们发现表征同一运动现象的函数由于采取不同参数作为横坐标和纵坐标的变量时，其图形是不一样的，图一展现的是一个圆，图三、图四是则是一条曲线。那么余弦函数和正弦函数还有其它的表现形式吗？答案是肯定的。
微软Microsoft Excel为我们提供了许多别具一格的绘图工具，其中雷达图就是特殊的一种。在《论太极因子的特性及其相互作用》一文中作者也已经尝试了余弦函数的雷达图，利用此功能我们已经成功地解决了太极图的绘制问题。图五展示了 f(θ)= cosθ和 f(θ)= -cosθ两个余弦函数的雷达图。
图五 f(θ)= cosθ和 f(θ)= -cosθ余弦函数的雷达图
由三角函数的诱导公式可知，f(θ)= -cosθ=cos（θ+л），与f(θ)= cosθ具有旋转180°的关系，参照太极因子的方法，如果将f(θ)= cosθ定义为自然阳因子的话，那么，f(θ)= -cosθ并是自然阴因子，即Y0 + = cosθ，Y0 - = -cosθ。所以图五也就是自然阴、阳因子的几何图形，同样，我们可以将它们绘制在一个雷达图中，形成自然阴阳因子雷达图，如图六所示。
图六 自然阴阳因子雷达图 图七 太极阴阳因子雷达图
自然阴阳因子雷达图与太极阴阳因子雷达图具有相似之处，图形由阴阳因子组合而成，只不过前者（图六）是用自然因子绘制，而后者（图七）用的则是太极因子。
由于图形具有极轴对称性，我们可以将图形用分半的形式来显示，即一半只绘制阴因子曲线，另一半只绘制阳因子的曲线。与太极两仪图一样，用分半的自然阴阳因子雷达图可转换为自然因子两仪图（图八）。
图八 自然因子两仪图 图九 太极两仪图
毋庸置疑，图八、图九是目前易学研究过程中遇到的最常见的两种图形，但在大多场合，它们被混为一谈，被称之为太极两仪图或阴阳鱼图。现在已经清楚，这两种图形其实是用不同的三角函数绘制的，尽管我们的祖先没有说明是采用何种方法绘制，但他们早已在实践中总结并在实际中应用，现在我们只是用现代科学手段揭示出其中的奥妙并加以验证而已。那么两种形影相似的结构其内部的作用会有区别吗？这是下面需要着重讨论的问题。
五、 自然因子的相互作用
在《论太极因子的特性及其相互作用》中从三个方面讨论分析了太极因子的相互作用关系，一是和合作用，二是差合作用，三是交合作用。自然因子的相互作用不妨参考应用。
1. 阴阳因子和合作用
阴阳因子和合作用是指系统内阴阳因子相互叠加的现象。自然阴阳因子的和合作用可以用下式表示：
H = Y0+ + Y0-
式中 H 为作用的结果，Y0+ 为自然阳因子，Y0- 为自然阴因子。
由于自然阴阳因子是一组相互对立的余弦函数或正弦函数，即
Y0+ =cosθ ， Y0- =-cosθ
或 Y0+ =sinθ ， Y0- =-sinθ
由此可知，自然阴阳因子的和合作用其结果恒等于0，即
H = Y0+ + Y0- = cosθ+（-cosθ）=0
H = Y0+ + Y0- = sinθ+（-sinθ）=0
也就是说，如果系统处于稳定的平衡状态时，外部几乎观察不到系统的存在，认为系统处于无的状态，即现代物理学上的真空现象。
2. 阴阳因子差合作用
阴阳因子差合作用是指系统内阴阳因子相互分离的现象。自然阴阳因子的差合作用可以用下式表示：
H = Y0+ - Y0- 或H = Y0- - Y0+
当自然阴阳因子用相互对立的余弦函数或正弦函数代替时，系统自然因子的幅值会出现成倍增加的现象，即
H = Y0+ - Y0- = cosθ-（-cosθ）= 2cosθ
H = Y0+ - Y0- = sinθ-（-sinθ）= 2sinθ
或 H = Y0- - Y0+ =（-cosθ）- cosθ= -2cosθ
H = Y0- - Y0+ =（-sinθ）- sinθ= -2sinθ
自然因子差合作用真实反映了自然阴阳因子相互作用时系统内部发生同频共振、幅值倍增的现象。差合作用让系统自身不断膨胀扩展。
3. 阴阳因子交合作用
阴阳因子交合作用是指系统内阴阳因子相互交感的现象。自然阴阳因子的交合作用可以用两者的点积表示：
H = Y0+ • Y0-
当自然阴阳因子为余弦函数或正弦函数时，交合作用的结果为
H =（cosθ）•（- cosθ）= - cos2θ= - YY+
H =（sinθ）•（- sinθ）= - sin2θ= - YY-
在《论太极因子的特性及其相互作用》中我们已经将cos2θ、sin2θ定义为观察角2θ的太极系统的太极因子，因为cos2θ=（1+cos2θ）/2= YY+为太极阳因子，sin2θ=（1-cos2θ）/2= YY-为太极阴因子，所以，自然阴阳因子的交合作用会产生新系统的太极因子。式中的负号可以解释为与原因子特性相反，即如果（1+cos2θ）/2 为太极阳因子的话，那么 -（1+cos2θ）/2则为反太极阳因子。
有趣的是，前面已经提到cos2θ和sin2θ两种形式也可以认为是cosθ和sinθ自身的乘积，也就是说自然阴阳因子不光相互能够发生交合作用，而且自身也能够发生交合作用，即
H = Y0+ • Y0+
或 H = Y0- • Y0-
自身交合作用同样产生新系统的太极因子
H =cosθ•cosθ= （- cosθ）•（- cosθ）= cos2θ= YY+
H =sinθ•sinθ= （- sinθ）•（- sinθ）= sin2θ= YY-
4. 阴阳因子相互作用与自身作用的关系
从上述自然因子相互作用的现象可以看出，由于它们是一组符号相反的余弦函数或正弦函数，即Y0+ = -Y0- ，阴、阳因子之间的相互作用与自身作用表现出相同的特性：
1) 阴阳因子的相互和合作用与阴阳因子自身的差合作用一致；
2) 阴阳因子的相互差合作用与阴阳因子自身的和合作用一致；
3) 阴阳因子的相互交合作用与阴阳因子自身的交合作用数值一致，符号相反。
因此，自然因子的相互作用与自身作用除了加减关系及符号外几乎没有什么区别。
自然因子的相互作用可以在自然现象中发现，如两组水波在水面交涉时有的地方比较平静，有的地方波动加剧。当具有波动特性的日光射过凸透镜时就可点燃后面的柴火。激光器便是调整光的偏振使光达到同频共振、幅值倍增的效果。
六、 自然因子、太极因子相互作用现象比较分析
自然因子的相互作用参照太极因子，但它们各自的相互作用是有区别的。为了更好地对自然因子、太极因子相互作用现象进行分析比较，有必要对观察系统的自然因子、太极因子的各种概念进行完整表述。
1. 概念表述
1) 观察系统
观察系统是按照观察角的具体情况加以区分的，由于观察角是以不同的角速度旋转观察获取的，所以不同的观察角形成不同的观察系统，当观察角为θ、Φ时分别表示以θ为观察角和以Φ为观察角的观察系统。但不同的观察系统可以是同一个系统用不同的观察角观察的结果。
不同的观察系统之间可以是相互独立和交错的，也可以是相互关联的具有层次关系。
对于同一个系统，当观察角θ与Φ有Φ=2θ时，认为两个观察系统之间有上下层次关系，观察角θ的观察系统为上层，观察角Φ为下层。
2) 自然因子
自然因子为简单的余弦函数或正弦函数形式，如cosθ、-cosθ、sinθ、-sinθ。自然因子Y0可以用阴阳特性表征，有自然阴因子Y0- 与自然阳因子 Y0+之别。同样为区分余弦函数与正弦函数之间的差别，可以用数字标明。如Y01+ = cosθ、Y01- = -cosθ、Y02+ = sinθ、Y02- = -sinθ。Y01- 与Y01+ 、Y02- 与 Y02+分别表示余弦函数与正弦函数的自然阴阳因子。
自然因子有不同系统之间的差异，Y01- = -cosθ与Y01+ = cosθ为观察角θ系统的自然阴阳因子，Y01- = -cosΦ与Y01+ = cosΦ为观察角Φ系统的自然阴阳因子。
3) 太极因子
太极因子为简单的半正矢函数或半余矢函数形式，如（1-cosθ）/2、（1+cosθ）/2、（1-sinθ）/2、（1+sinθ）/2 。太极因子Y具有阴阳特性，分别用太极阴因子Y- 与太极阳因子 Y+ 表示。同样为区分正矢函数与半余矢函数之间的差别，可以用数字标明。如Y1+ = （1+cosθ）/2 、Y1- =（1-cosθ）/2、Y2+ = （1+sinθ）/2、Y2- =（1-sinθ）/2。Y1- 与Y1+ 、Y2- 与Y2+ 分别表示正矢函数与半余矢函数的太极阴阳因子。
太极因子有不同系统之间的差异，Y1- =（1-cosθ）/2与Y1+ =（1+cosθ）/2 为观察角θ系统的太极阴阳因子，Y1- =（1-cosΦ）/2与Y1+ =（1+cosΦ）/2 为观察角Φ系统的太极阴阳因子。
当观察角θ与Φ有Φ=2θ的关系时，认为两组太极阴阳因子之间有上下层次关系，这时可用YY1- =（1-cosΦ）/2与YY1+ =（1+cosΦ）/2 来表示观察角Φ的太极阴阳因子，以区别观察角θ时太极阴阳因子Y1- =（1-cosθ）/2与Y1+ =（1+cosθ）/2 。
2. 两种因子和合作用的差别
无论是余弦函数还是正弦函数，自然阴阳因子的和合作用结果都为0，即
H = Y0+ + Y0- = 0
H = Y01+ + Y01- = cosθ+（-cosθ）= 0
H = Y02+ + Y02- = sinθ+（-sinθ）= 0
无论是半正矢函数与半余矢函数，太极阴阳因子的和合作用结果都为1，即
H = Y+ + Y- = 1
H = Y1+ + Y1- =（1+cosθ）/2 +（1-cosθ）/2 = 1
H = Y2+ + Y2- =（1+sinθ）/2 +（1-sinθ）/2 = 1
如果把H =0认为系统处于无的状态，那么H =1应该系统处于有的状态。这两种状态可以用雷达图反映，如图十所示。
图十 系统在H =0和H =1时的状态雷达图
从状态雷达图中发现，当H =0时外部几乎观察不到系统的存在，系统中的每一点都可以是极点（中心点），但找不着系统的边界。而当H =1时外部可以始终观察到系统的存在，系统的极点在O处，其形状为半径H=1的圆。
3. 两种因子差合作用的差别
自然因子的差合作用结果与原自然因子幅值有倍增的关系
H = Y01+ - Y01- = cosθ-（-cosθ）= 2cosθ= 2Y01+
H = Y01- - Y01+ =（-cosθ）- cosθ= -2cosθ= 2Y01-
或 H = Y02+ - Y02- = sinθ-（-sinθ）= 2sinθ= 2Y02+
H = Y02- - Y02+ =（-sinθ）- sinθ= -2sinθ= 2Y02+
而太极因子的差合作用结果是太极因子向自然因子转化的关系
H = Y1+ - Y1- = (1+cosθ)/2 - (1-cosθ)/2 = cosθ= Y01+
H = Y1- - Y1+ = (1-cosθ)/2 - (1+cosθ)/2 = - cosθ= Y01-
或 H = Y2+ - Y2- = (1+sinθ)/2 - (1-sinθ)/2 = sinθ= Y02+
H = Y2- - Y2+ = (1-sinθ)/2 - (1+sinθ)/2 = - sinθ= Y02-
如果说自然因子的差合作用是表征事物发展成长现象的话，那么太极因子的差合作用则是表征事物返本归原现象，也就是说太极因子的差合作用形成了自然因子。
我们可以用雷达图来表现两种因子差合作用的现象。
图十一 自然因子的差合作用雷达图 图十二 太极因子的差合作用雷达图
4. 两种因子交合作用的差别
太极阴阳因子交合作用的现象是引入自然阴阳因子概念的原因，两种因子交合作用的结果有着惊人的相似之处。
自然阴阳因子交合作用的结果为
H = Y01+ • Y01- = cosθ•（- cosθ）= - cos2θ= - YY+
H = Y02+ • Y02- = sinθ•（- sinθ）= - sin2θ= - YY-
太极阴阳因子交合作用的结果为
H = Y1+ • Y1- =（（1+cosθ）/2）•（（1-cosθ）/2）=（sin2θ）/4= YY- /4
H = Y2+ • Y2- =（（1+sinθ）/2）•（（1-sinθ）/2）=（cos2θ）/4= YY+ /4
式中YY- 和YY+ 是观察角为Φ=2θ时的太极阴因子和阳因子，而sin2θ和cos2θ在观察角为θ的系统中则不能称之为太极因子，只有通过三角恒等变换之后YY- =sin2θ=（1-cos2θ）/2和YY+ =cos2θ=（1+cos2θ）/2在观察角Φ系统中才表现出太极因子特性，而观察角Φ系统是不同于观察角θ的观察系统。由于具有Φ=2θ的关系，可以认为它们是上下层次的两个观察系统。
两种因子交合作用的结果都将产生系统下一层次的太极阴阳因子，只是存在符号和幅值上的区别。我们也可以用雷达图来表现两种因子交合作用的现象。
自然因子（观察角θ） 产生太极因子（观察角Φ） 在同一系统的图形（观察角θ）
图十三 自然因子的交合作用雷达图
自然因子的交合作用雷达图也进一步说明了同一函数在不同的观察系统中其表现的图形是不一样的，这是雷达图的一大特点。
太极因子（观察角θ） 产生太极因子（观察角Φ） 在同一系统的图形（观察角θ）
图十四 太极因子的交合作用雷达图
5. 反因子现象
从两种因子交合作用的结果可以看出，交合作用产生了系统另一层次的太极阴阳因子，同时也带来了新的情况，即由自然阴阳因子产生的太极阴阳因子与由太极阴阳因子产生的太极阴阳因子存在符号的差异，自然阴阳因子交合作用的结果H = Y01+ • Y01- = - YY+ 与太极阴阳因子交合作用的结果H = Y2+ • Y2- = YY+ /4 之间存在符号差异。为了能够准确表达由于符号差异所带来的影响，我们引用量子物理学上的“反粒子”、“反物质”相同的概念，把负的因子称之为“反因子”，把原因子称之为“正因子”，并在原因子符号上用“´”标识。
太极因子有阴阳之分，其反因子也可分为“反太极阴因子”、“反太极阳因子”。
太极阳因子Y+ 的反因子为反太极阳因子Y+´，太极阴因子Y- 的反因子为反太极阴因子Y- ´。
太极阳因子 Y+ =（1+cosθ）/2 的反因子为
Y+´ = -（1+cosθ）/2
太极阴因子 Y- =（1-cosθ）/2 的反因子为
Y-´ = -（1-cosθ）/2
反太极因子与太极因子的关系如下
Y+ = - Y+´
Y- = - Y-´
由上述关系可知，反太极因子与太极因子的和合作用，其结果为0
H = Y+ + Y+´= 0
H = Y- + Y-´= 0
反因子现象同样适用于自然因子，自然阳因子Y0+ 的反因子为反自然阳因子Y0+´，自然阴因子Y0- 的反因子为反自然阴因子Y0- ´。
自然阳因子 Y0+ = cosθ 的反因子为
Y0+´ = - cosθ
自然阴因子 Y0- = - cosθ 的反因子为
Y0-´ = cosθ
从自然阴阳因子和合作用的结果为0可知，自然阴阳因子的反因子就是自然阳阴因子。
反自然因子与自然因子的关系如下
Y0+ = - Y0+´= - Y0-
Y0- = - Y0-´= - Y0+
或 Y0+´= - Y0+ = Y0-
Y0-´= - Y0- = Y0+
由此可见，反因子具有正因子完全相反的性质，在一个稳定的观察系统中会同时出现或同时消失，并不为外界所觉察，它们的和合作用始终为0。
正反自然因子（自然阴阳因子） 正反太极因子 太极阴阳因子
图十五 正反因子与阴阳因子雷达图
正反自然因子原本就是自然阴阳因子，自然阴阳因子互为正反因子。而反太极阳因子从图形上看与太极阴因子也完全相同，只是在同一极角（观察角）方位上太极阴阳因子同向，正反太极因子反向。正反因子的结构可以是阴阳因子，也可以是与阴阳因子不同的结构。在太极图理论的研究过程中反因子的存在是不可忽视的因素。
七、 自然因子与太极因子的相互关系
从对月相的观察中发现了太极阴阳因子之后，我们陆续探讨阴阳因子之间的相互作用关系，在《论太极因子的特性及其相互作用》一文中已经作了较为详细的分析，一个太极系统的阴阳因子其交合作用会产生另一太极系统的阴因子或阳因子，据此确立了由太极阴阳因子相互作用形成的万物生生不息、繁衍不止的现象。而本文运用三角恒等变换引入自然阴阳因子的概念，通过判断其内在特性，辨别与太极阴阳因子相互作用的差异，得出一个系统的自然阴阳因子的相互作用和自身作用同样可以产生另外一个系统的太极阴阳因子的结论，从而找到了天地万物能够自然演绎形成的运化规律。
我们从月相中发现了太极因子（见《月相的太极图演变规律探讨》）。月相是指月球、地球和太阳三者在太空中相互运动形成的某一状态时月球对日光的反射现象。月相按朔月、峨嵋月、上弦月、凸月、望月、凸月、下弦月、残月的过程在一个周期内循环一次，同时也反映了月球表面反射太阳光的面积大小变化过程。月球反光的面积大小可以用三角函数表达
S+ = S0（1+ cosθ) /2
式中S+ 为月球反光面积（垂直于观察方向的投影面积），S0为月球相面积（最大反光面积），θ为观察角，即月球、地球和太阳三者在太空中形成的角度，当θ=0时为望月。
由上式可以计算出月球不反光的阴暗面积 S-
S- = S0（1- cosθ) /2
月相的反光面积S+ 和阴暗面积S- 中蕴含了太极因子（1+ cosθ) /2和（1- cosθ) /2。
而自然因子是最简单的三角函数，在自然界随处可见。如圆周运动的质点在X轴和Y轴方位上的投影便包含了自然因子即x= cosθ、y= sinθ（见图一）。我们生活在地球上每一天都经历着日出日落、白天黑夜更替的过程，晴天普照的阳光之中并蕴涵了自然因子。
然而，我们发现，自然因子和太极因子不光能够自然形成，而且也能够相互作用转换。
1. 自然因子向太极因子转换
通过三角恒等变换引入了自然因子概念，同样我们可用这一组三角函数来说自然因子向太极因子转换的过程。
三角恒等变换
cos2θ=（1+cos2θ）/2
或 sin2θ=（1-cos2θ）/2
式中，余弦函数cosθ和正弦函数sinθ为观察角θ系统中的自然因子Y01+ 、Y02+ ，半正矢函数（1+cos2θ）/2和（1-cos2θ）/2为观察角Φ=2θ系统中的太极因子YY1+ 、YY1- 。
上式表明，一个系统的自然因子自身的交合作用产生了另一个系统的太极因子。
为了便于讨论，我们把自然因子交合作用产生另一个系统的太极因子的过程称之为生。也就是说，太极因子可以由自然因子产生。如果是自然阴或阳因子自身的交合作用产生太极因子，把这一过程称之为自生。如果是自然阴阳因子相互交合作用产生太极因子则称之为互生。
自然因子的自生现象
Y01+ • Y01+ = YY1+
自然因子的互生现象
Y01+ • Y01- = - YY1+
因此，太极因子可以由自然因子自生或互生获得，如图十三所示。
2. 太极因子向自然因子转换
在自然因子与太极因子差合作用的分析比较过程中发现，太极因子差合作用的结果可以形成自然因子
Y1+ - Y1- = (1+cosθ)/2 - (1-cosθ)/2 = cosθ
Y1- - Y1+ = (1-cosθ)/2 - (1+cosθ)/2 = - cosθ
式中，余弦函数cosθ和-cosθ为观察角θ系统中的自然因子Y01+ 、Y01- ，半正矢函数（1+cosθ）/2和（1-cosθ）/2为观察角θ系统中的太极因子Y1+ 、Y1- 。
为了便于讨论，我们把太极因子差合作用形成自然因子的过程称之为返。也就是说，自然因子可以由太极因子返归，有返璞归真之意。由于自然阴阳因子是由太极阴阳因子相互差合作用形成的，我们把这一过程称之为互返。
太极因子的互返现象
Y1+ - Y1- = Y01+
Y1- - Y1+ = Y01-
因此，自然因子可以由太极因子互返获得，如图十二所示。
3. 自然因子向自然因子转换
在自然因子与太极因子差合作用的分析比较过程中发现，自然因子差合作用的结果形成另一形式的自然因子
Y01+ - Y01- = 2cosθ
Y02+ - Y02- = 2sinθ
或 Y01- - Y01+ = -2cosθ
Y02- - Y02+ = -2sinθ
式中，余弦函数cosθ、-cosθ和正弦函数sinθ、-sinθ）为同一观察角θ系统中的自然因子Y01+ 、Y01- 、Y02+ 、 Y02- 。
为了便于讨论，我们把自然因子差合作用形成另一形式的自然因子的过程称之为化。化为同一种因子形式上的转化。由于新自然因子是由原自然因子相互差合作用形成的，我们把这一过程称之为互化。
自然因子的互化现象
Y01+ - Y01- = 2Y01+
Y02+ - Y02- = 2Y02+
或 Y01- - Y01+ = 2Y01-
Y02- - Y02+ = 2Y02-
因此，新自然因子可以由一组原自然因子互化获得，如图十一所示。
4. 太极因子向太极因子转换
在自然因子与太极因子交合作用的分析比较过程中也已发现，太极因子交合作用的结果同样可以形成太极因子
Y1+ • Y1- =（（1+cosθ）/2）•（（1-cosθ）/2）=（sin2θ）/4
Y2+ • Y2- =（（1+sinθ）/2）•（（1-sinθ）/2）=（cos2θ）/4
式中，半正矢函数（1+cosθ）/2和（1-cosθ）/2、半余矢函数（1+sinθ）/2和（1-sinθ）/2为观察角θ系统中的太极因子Y1+ 、Y1- 、Y2+ 、 Y2- ，三角函数sin2θ和cos2θ为观察角2θ系统中的太极因子YY1- 、YY1+。
为了便于讨论，我们把太极因子交合作用形成另一个系统的太极因子的过程同样称之为化，即同一种因子形式上的转化。由于新系统太极因子是由原系统太极阴阳因子相互交合作用形成的，我们把这一过程称之为互化。
太极因子的互化现象
Y1+ • Y1- = YY1- /4
Y2+ • Y2- = YY1+ /4
因此，一个新系统的太极因子可以由一个原系统太极因子互化获得，如图十四所示。
通过以上分析可以知道，我们看见的各种现象，可以用不同的观察角进行观察、判断、分类，形成各种各样的观察系统，而这些观察系统又可以用具有阴阳特性的自然因子和太极因子来表征。事实上，自然界中存在的各种现象都可以归结为特定系统的自然因子和太极因子相互作用的结果。自然因子和太极因子之间的相互作用不仅能够自身转换，而且还能够进行相互转换，自然因子能够转换为太极因子，太极因子也能够转换为自然因子，同时它们还能够改变自身的状态。这些作用相互纠缠、循环往复、不断延续，时时刻刻都在生生化化返返，产生了形形色色的复杂现象，构成了眼花缭乱的万物世界。有关自然因子和太极因子之间的关系有待于我们深入探讨。
八、 结语
本文在分析太极因子特性及其相互作用关系的基础上，运用三角恒等变换原理，再度引入自然因子的概念，企求利用普遍存在的最简单的三角函数特性及其相互作用的关系来诠释人们所能观察到的各种自然现象。通过分析表明，自然因子同样具有阴阳、周期循环等特性，可以相互产生和合、差合和交合作用，同时对自然因子的相互作用与太极因子相互作用进行分析比较后发现，太极因子不仅可以由原太极因子转换形成，还可以由自然因子自身相互作用产生。而太极阴阳因子和合作用表现出有的状态、自然阴阳因子和合作用表现出无的状态，让我们联想到老子万物从无到有、从有到有、从有到无之间的阴阳变化规律。更令人惊喜的是，用雷达图绘制的自然因子、太极因子的几何图形能够正确反映出太极两仪图曲线和相互转换的过程，从而找到了一条用现代科学方法表述我国传统哲学的途径。
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