小资料：达芬奇密码与黄金分割

　　维特鲁威人 Vitruvian Man

　　……建筑师维特鲁威在他关于建筑的作品中谈到，人体的自然尺寸是按照如下原则分配的：4指为一掌，4掌为一尺，6掌为一腕尺，4腕尺为一人的高度。这种丈量方式可以应用到建筑中去。假如你伸开双腿，让你的身高减少十四分之一，同时展开你的双臂、抬高你的胳膊直到中指达到你的头顶，你会发现，你张开的四肢以肚脐为中心，而你双腿间的空间会是一个等边三角形。一个人双臂伸开的长度等于他的身高。从发根到下巴颏的长度是人身高的十分之一；从下巴颏到人头顶的长度是他身高的八分之一。从胸部顶端到头顶的距离是人身高的六分之一，而从胸部顶端到发根的距离是整个人身高的七分之一。从乳头到头顶的距离是整个人身高的四分之一。双肩的最大宽度应是人身高的四分之一。从肘部到手指尖的长度是人身高的五分之一，从肘到腋窝的长度是人身高的八分之一。整个手掌的长度是人身高的十分之一。生殖器的起始点是人身体的中分点。脚的大小是人身高的七分之一，从脚底板到膝盖下的距离是人身高的四分之一。从膝盖下至生殖器起始点的距离又是人身高的四分之一。从下巴颏到鼻子和从发根到眉毛的距离，以及耳朵的长度相等，都是面部长度的三分之一……

　　以上这段文字完全是根据达·芬奇在《维特鲁威人》一旁的注解文字翻译而来的。事实上是维特鲁威的原话，而列航那多的《维特鲁威人》是为评论维特鲁威的作品的一部书画的插图。

　　《维特鲁威人》可能是列昂那多最著名的代表作了。在《达·芬奇密码》中，也是索菲·奈芙最喜爱的一件达·芬奇的作品。他的祖父雅克·索尼埃在临死前，就是把身体摆成了维特鲁威人的姿势。

　　《维特鲁威人》是一个人伸直四肢的形象，许多年以来一直是流行的文化招贴与装饰。维特鲁威是一位生活在公元前1世纪末到公元1世纪初的罗马工程师、作家兼建筑师，在他现存的一部作品《建筑》（DeArthitectura）中，包括了是个巨型的百科全书式的章节，其中讨论了罗马的城市规划、工程技术和建筑艺术等各个方面──同时也包括了人体比例。它的重要性在文艺复兴时期被再次发现，重燃了古典艺术的光辉火焰。

　　关于黄金分割：

　　               

　　 自古以来，黄金分割率（PHI）是一个非常神秘的常数。本文通过笔者刚刚发现的有关知识，试图解释各种有关它的一些神秘现象，特别是有关美的感觉。提出了大量问题，希望人们重视自组织线性区域的研究，深入地认识有关美的问题。

　　 黄金分割率, 0.618033988...,一个极为迷人而神秘的无理数。它的首次提出是，2500多年前古希腊的毕达哥拉斯。他从铁匠打铁时发出的具有节奏和起伏的声响中测出了不同音调的数的关系，并通过在琴弦上所作的实验找出了八度、五度、四度和谐的比例关系。两千三百年前，古希腊数学家欧几里德第一次用几何的方法给出黄金分割率的计算。15世纪末期，法兰西教会的传教士路卡·巴乔里发现金字塔之所以能屹立数千年不倒，且形状优美，原因在于其高度与基座每边的结构比例为“5:8”。有感于这个神秘比值的奥妙与价值，他使用了黄金比率一词。古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。

　　 一、神秘的黄金分割

　　               

　　 黄金分割率不但在数学中扮演着魔幻般的角色，在建筑，美学，艺术，音乐，在几乎人类生活的一切领域里，都可以找到这个精灵的存在。让我们先来感觉它在各方面的神奇。

　　  1、神秘的人体比例

　　 一些数据的陆续发现，表明人体是世界上最美的物体。最近的研究得出，人体黄金分割因素包括4个方面：

　　   

　　 ①18个“黄金点”，如脐为头顶至脚底之分割点；喉结为头顶至脐分割点；眉间点为发缘点至颏下的分割点；眉间距与内眦间距之比；在躯干部分，乳房位置的上下长度比；膝盖到脚后跟和至肚脐之比；膝关节是肚脐到脚的黄金分割点，肘关节是手指到肩部的黄金分割点；头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比等。

　　 ②15个“黄金矩形”，如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓、前牙的轮廓、人的双眼视野等；

　　               

　　 ③6个“黄金指数”，如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等；

　　     ④3个“黄金三角”，如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等。

　　    新墨西哥州立大学的心理学家维克托-约翰斯顿发现，人们所喜爱的女性面孔大多是这样的：前额高阔、嘴巴丰厚、下鄂精致、鼻子和下巴小巧，眉毛以下所占比例明显小于平均数。女姓对身段的追求，有一点古今不变——人们对女性的腰臀比例：大约0.7。女性的身段三围比例90：60：90，胸围应为身高的一半，髋围较胸围大4厘米。再加上大腿围较腰围小10厘米，小腿围较大腿围小20厘米。足颈围较小腿围小10厘米。上臂围等于大腿围的一半。颈围与小腿围相等。肩宽等于胸围的一半减4厘米。就是所谓“魔鬼身材”。             

　　 此外还有：骨骼美在于匀称、适度。即站立时头颈、躯干和脚的纵轴在同一垂直线上；肩稍宽，头、躯干、四肢的比例以及头、颈、胸的连接适度。肌肉美在于富有弹性和协调。过胖过瘦或肩、臀、胸部的细小无力，以及由于某种原因造成的身体某部分肌肉的过于瘦弱或过于发达，都不能称为肌肉美。肤色美在于细腻、光泽、柔韧、摸起来有天鹅绒之感，看上去为浅玫瑰色的最佳。

　　 2、艺术与建筑

　　 文艺复兴时期的伟大建筑师帕拉迪奥(Andrea  Paliadio)提出，被我们经常觉得优美的比例，除了最平稳、和谐的1∶1(正方形和圆形)以外,尚有1∶2，1∶3，1∶1.618，1∶4(两个1∶1的组合)，以及1∶5(两个黄金比的组合)。

　　金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面。由任何一边看入去，都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸（5-8-13）。无论是古希腊帕特农神庙，还是中国古代的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间竟然完全符合1比0.618的比例。法国巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例是8：5，它的每一扇窗户长宽比例也是如此。

　　 黄浦江东岸的东方明珠广播电视塔，塔身高达468米。纽约联合国大楼在建筑设计中所运用的黄金分割率。 五角星中线段的比率都符合黄金分割率，这使得它成为了黄金分割的首要代表。正是因为这个原因，五角星总是被作为美丽与完美的象征，并与女神和神圣的女性联系在一起。生活中建筑物、门窗、画框、十字架、扑克牌和书籍等，他们长和宽的比例都十分接近于“黄金分割率”。

　　报幕员在舞台上的最佳位置是舞台宽度的0.618之处。高清晰度电视的屏幕设计成16：9。             

　　西方画家非常注意把和谐的比例关系融入自己的绘画中，达·芬奇曾挖掘出人的尸体来测量人体骨骼结构的确切比例，他是宣称人体的结构比例完全符合黄金分割率的第一人。艺术家在设计创作其作品时都有意识地、严格地遵循了黄金分割比率。

　　               

　　中国画家喜欢动植物和山水，其实形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割。中国的古人虽不知这个神奇的数字，却给我们留下不少至理明言：善画者留白，善乐者希声，善言者忘语，善书者缺笔，大贤者若痴，大智者若愚，这些古代哲理，都隐喻着黄金分割的精髓，明朝李焕说。“和盘托出，不若使人想象无穷耳.”国画、书法讲究“意到笔不到”，笔到则太露，意到则回味无穷。只托出一大半儿(0.61就给人留以想象和发挥的余地。

　　  3、音乐

　　  优美动听的琴音，是综合了各种条件而得来的，贝多芬、莫扎特、巴赫、巴托克、德彪西、舒伯特等在他们的音乐里流淌着黄金分割的完美和谐。在乐章、节中、乐曲中的大小高潮大都处在乐曲的5：8的交叉点上。

　　             

　　  斯特拉迪瓦里在制造他那有名的小提琴时也运用了黄金分割来确定f形洞的确切位置。黄金分割律是小提琴系统工程中的一个重要组成部分。小提琴各个黄金分割律的调试是比较困难的，其中有的可以自行调试，有的则明知不准确也难于调试。在可能条件下调节其某些可调部分的黄金分割点，其音质可获得一定程度的改善。同样，二胡要获得最佳音色，其千斤则须放在琴弦长度0.618处。

　　  中国古人对黄金分割的领悟与运用,

　　 与西方确有异曲同工之妙。“以琴长全体三分损一，又三分益一，而转相增减”，全弦共有十三徽，把这些排列到一起，二池，三纽，五弦，八音，十三徽。奇妙的排列, 恰是斐波那契数（PHI）。

　　 4、生命现象

　　   率先使用斐波那契数列的，是法国数学家埃杜瓦尔·卢卡斯。从那时起，科学家开始注意到自然界中这样的例子，譬如，向日葵花盘和松果的螺线、植物茎干上的幼芽分布、种子发育成形和动物犄角的生长定式。人类从胚胎、婴儿、孩童到成年的发育规律，也遵循着黄金分割率。

　　               

　　在植物中，像牡丹、月季、荷花、菊花等观赏性花卉含苞欲放时，起花蕾呈直的椭圆形，且长短轴的比例大接近于黄金分割。在有些植物的茎上，两张相邻的叶片的夹角是137°28’，这恰好是把圆周分成1：0.618的两条半径的家角。据研究发现：这种角度对植物通风和采光效果最佳。螺旋形的松果的排列与上类似。葵花籽在花盘上呈相反的弧线状排列，相邻两圈之间的直径之比PHI。向日葵花有89个花辫，55个朝一方，34个朝向另一方。

　　            

　　将世界上任何一个蜂巢里的雄蜂和雌蜂分开数，你将得到一个相同的比率PHI。鹦鹉螺身上每圈罗纹的直径与相邻罗纹直径之比是PHI。昆虫身上的分节竟然也符合黄金分割。

　　              

　　人体最适应的温度乃是用黄金分割率切割自身的温度,因为人正常体温是37.5度，它和0.618的乘积为23.175℃，在这一环境温度中，机体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。在动物界，禽兽等高级温动物的体温介乎37--39℃，这一温度正是水的液态范围0—100%，两个黄金点（0.618）之一，即38%左右。

　　               

　　养生学家通过多年观察发现，动和静是一个0.618比例关系，大致四分动六分静才是较佳养生之法。医学专家分析后发现，饭吃六七成饱的人几乎不生胃病；人的脑电波图，若高低频率比为1：0.618时，乃是身心最具快乐欢愉之感的时刻。

　　            

　　人类是杂食的，消化道长9米，其0.618为5.5米，是承担消化吸收任务的小肠的长度，最适合以素食为主的混合膳食。食物供给人体以热能，热能由碳水化合物、蛋白质和脂肪提供，碳水化合物供热要占人体总热能需要的0.618，主要是谷物中的淀粉。我们把进餐说成吃饭，是很科学的，突出了重点。一些发达国家的食物结构中，这一“黄金分割”被颠倒了，动物性食物占了大部分，造成心血管疾病、糖尿病、肥胖症的发病率大大上升。蛋白质是人体含量最多的有机物质，由20种氨基酸组成，“20”的61.8％即12种氨基酸为人体自行合成，另外8种氨基酸必须由食物供给。由于谷物中的蛋白质质量较差，因此，为了保证蛋白质的摄入，膳食中优质蛋白质的供给量应达到61.8％。优质蛋白主要存在于动物性食物和豆类食物中，每天吃适量豆类食物和豆制品对健身很有好处。植物油和动物脂肪各有其生理功效，植物油与动物脂肪的摄入比例也应符合黄金分割比值。酸碱平衡.米、面、肉、蛋、油、糖、酒属于酸性食物，进食过多会使血液偏酸，导致酸性体质，使免疫能力下降，容易患病。据统计，有61.8％的疾病缘于酸性体质。所以，应该多吃些碱性食物，使血液保持正常的微碱性。碱性食物主要有海带、食用菌、蔬菜和水果，进食量应占膳食总量的61.8％。日本人的平均寿命多年来稳居世界首位，合理的膳食是一个主要因素。在他们的膳食中，谷物、素菜、优质蛋白、碱性食物所占的比例基本上达到了黄金分割的比值。

　　               

　　人体内的水分占体重的61.8％，不计出汗，每天失去和需要补充的水达2500毫升。其中半固体食物供给的水和人体内部合成的水约1500毫升，大约占61.8％。其余1000毫升需要补充，才能保持水平衡。因此，每人一天要喝5杯水。

　　  5、社会

　　    事实上，0.618对于财政上交、学生的毕业成绩、选举人数的比例、进出口比例、股东分配比例、都有一定的意义和参考价值。

　　               

　　生产上，优选法是一种求最优化问题的方法，这就是1953年，美国的基弗提出“0.618法”。即怎样才能使产量最高、质量最好、消耗最少的方法。如果将实验点定在区间的0.618左右，那么实验的次数将大大减少。实验统计表明，对于一个因素问题，用“0.618法”做16次实验，就可以取得“对分法”做2500次试验所达的效果。

　　               

　　 股市上，黄金分割率为艾略特所创的波浪理论所套用，广泛地为投资人士所采用。该理论指出，当股指或股价的上涨速度达到前波段跌幅的0.382倍或是0.618倍附近时，都会产生较大的反压，随时可能出现止涨下跌；当股指或股价出现下跌时，其下跌的幅度达到前波段涨幅的0．382或是0．618倍附近时，都会产生较大的支撑，随时可能出现止跌上涨。

　　               

　　 股市行情是集合众人力量的行为，战争则与其类似。古代，马其顿与波斯的阿贝拉之战，是欧洲人将0.618用于战争中的一个比较成功的范例。在这次战役中，波斯多于亚历山大的兵马数十倍马其顿，亚历山大大帝把他的军队的攻击点，选在了波斯大流士国王的军队的左翼和中央结合部（黄金点），把波斯大军打得溃不成军。现代，在海湾战争中，多国部队就是采用了类似的布阵法打败了伊拉克军队。为了使伊军的损耗达到这个临界点，美英联军一再延长轰炸时间，持续38天，直到摧毁了伊拉克在战区内428辆坦克中的38%、2280辆装甲车中的32%、3100门火炮中的47%，这时伊军实力下降至60%左右，这正是军队丧失战斗力的临界点（黄金分割点）。以后地面作战只用了100个小时就达到了战争目的。

　　6、其它自然现象

　　               

　　太阳系本身就是一条斐波那契螺线，形成以太阳为中心的涡旋。事实上，列昂纳多曾有论述：“与车轮不同的是，涡旋越趋中心速度越快。”比如说，水星年（水星绕行太阳一周）等于地球年的88天，而冥王星的1年是地球年的248倍。翠茜·特威曼和鲍伊德·赖斯在《上帝之舟》中列举的事实更进一步：太阳与水星的距离，加上水星与金星距离，正等于金星和地球的距离。太阳系中月球是距地球最近的星球，月球的平均密度（3.4g/cm）与地球的平均密度（5.5g/cm）之比恰为0.618 : 1。

　　               

　　北纬23.5度是一个奇特的地带，在这条太阳回归线上有不少自然奇观与人文奇迹。用传统的观点来讲，回归线地带是一条好风水带。现在我们来看看此地带的若干“风水现象”：在北回归线周围，有世界最高的青藏高原，有最大的撒哈拉沙漠，有美国的东部大平原，有世界上最深的海沟──马里亚纳海沟，有号称世界屋脊的山峰──珠穆朗马峰，有中国有最长的大江──长江。此外还有不少著名的自然风景区，如张家界、西双版纳、桂林、云南石林等。著名的能量异常区──百慕大三角区就经过北回归线。有世界上最大的金字塔群。翻翻世界名人录，会发现有不少伟人出生在这个地带上。且此地带是最繁茂的生物圈。地球地轴的倾斜，当然有其深刻的宇宙意义。倾斜的地轴造成的太阳回归线，如用黄金分割律来分析，我们就会发现，它恰好位于地球地轴的黄金分割点上。有人把中东地区看成地球的“肚脐”，因为它不仅正好位于大约东经30

　　 北纬30度的地方，而且有最大的石油库，并且是世界两大宗教的圣地，又是历史上非常多事的地方。

　　 趋势线交易法

　　 
　　  趋势线是简洁的工具，可以让我们明确地遵循趋势的方向，同时避免逆势操作。有效的趋势线（Valid Trendline)必须是波峰与波峰的相连或波谷与波谷的相连。

　　      当价格处在涨势中，沿着底部绘制上升趋势线，当价格处在跌势中，沿着头部绘制下降趋势线。这些趋势线向未来延伸的部分，可以协助判断买进与卖出的位置。

　　     

　　  角度是趋势线的最重要内涵之一，可以反映市场的主导力量。当趋势线向上时，代表多头居于主导地位，在这种情况下，应该买进而停损点设定在趋势线的稍下方。当趋势线向下时，代表空头居于主导地位，在这种情况下，应该放空而停损点设定在趋势线的稍上方。

　　      趋势线是最古老的分析工具之一，辨识趋势的现代化工具包括：移动平均、趋向系统与MACD。

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　　  趋势线的最重要内涵之一是它的斜率。如果趋势向上倾斜，多头处于主控的地位，应该寻找买进的机会。如果趋势向下倾斜，空头处于主控的地位，应该寻找放空的机会。你可以根据五个因子评估趋势线的重要性或强度：趋势线的时间架构、涵盖期间的长度、触及次数、角度与成交量。

　　      时间架构愈长、趋势线愈重要和可靠。相对于日线图来说，周线图上的趋势线比较重要。同理，相对于小时走势图来说，日线图上的趋势线比较重要。

　　     

　　  形成的时间越长，趋势线的意义就越大，效力就越显著，用数年时间形成的趋势线，比只有数周时间所形成的趋势线要可靠。因为趋势线可以反映其形成期间的群众行为。趋势线形成的期间愈长，趋势的惯性也愈强。在主要的多头行情中，趋势线可能维持数年的效力。

　　     

　　  价格触及趋势线的次数愈多，趋势线愈重要。在上升趋势中，折返趋势线的走势，代表空头的造反。在下降趋势中，折返趋势线的走势，代表多头的造反。当价格折返趋势线而随后又弹开，代表市场的主导力量击溃造反者。

　　      趋势线最初是由两点衔接而成，三点的接触，将使趋势线更为有效。四点或五点的接触，代表市场的主导力量取得稳固的控制。

　　     

　　  趋势线与横轴的夹角，可以反映市场主导群的情绪性强度。陡峭的趋势线，代表市场主导群正在赶行情，平缓的趋势线则有缓步攻击的意味。平缓的趋势线就像“龟兔赛跑”中的乌龟一样，它的后劲较足。

　　     

　　  对于每条趋势线，你都应该衡量它的角度，这可以让电脑计算，或利用量角器来衡量，你可以比较趋势线的角度，藉以分析市场主导群较为偏多或偏空。请注意，在任何特定的市场中，趋势线的角度经常相同，这可能是主要的玩家都是相同的一群人。

　　     

　　  价格有时候会加速发展而脱离原来的趋势线。你可以绘制一条比较陡峭的新趋势线。它显示趋势正在加速发展，持续的能力将降低。当趋势加速发展时，必须紧缩停损点，将它设定在新趋势线外侧的边缘。并根据每支新线形进行调整。一旦价格突破新趋势线，通常会发生急速的反转。

　　 
　　  分形

　　  

　　  1最早对分形有了概念还是看了那两本经典‘期货交易技术分析，那时叫波峰，波谷。后来看了老比的书，才有了定义’分形‘

　　  在我看来，分形的最大好处是稳定，作为一种辩识标志，只要形成，在其后的行情中它还是分形，不会象波浪一样要随时修正，这就给交易提供了一种定量的依据。

　　  分形成立后它的作用就成立，只不过孀攀奔涞耐埔圃嚼丛讲幻飨裕�但是只要它没有被碰到，作用依然存在�?br>2分形产生，就说明有阻力和支撑，给我们提供了一个观察窗

　　  观察价格随后的表现，来决定进出。

　　 

　　  3以日线为操作周期，可以用周线分形来判别趋势，30MIN分形选进场点

　　  以本级别未被穿越过的最近一对分形和现价之间的比例来衡量风报比
　　 

　　  4当价格如期产生了我们所希望的位移，一个新的上分形产生，这时，可以向左寻找同价位区域的分形，比较分形之间的高度，形成时间，依据自己的判断，减仓或者平仓，等待新的下分形产生，是否提供新的交易机会。

　　 

　　  5当上分形创新高，左侧没有可以比较的分形，可以比较最近的一对分形，看看两对分形之间的比例

　　 

　　  6当在同一区域出现重叠的分形，此时，要观察混沌后的方向，可以提高一个时间级别；当希望选择一个好的进场点，就调小一个级别，观察这种惯性是否继续，。

　　 

　　  7每一个新分形产生，就提供了一个新的决策点，也为未来的分形提供比较的参照

　　 

　　  8谢尔平斯基三角是分形自相似最好的直观模型，任何一个大级别分形都是由小级别分形构成，同样，任何一个小级别分形都受大级别分形的制约，明白这一点，对策略的运用帮助极大。

　　 

　　  9有一些分形是无意义的，可只有当新分形产生，我们才能知道，这就说明，分形的应用也是艺术的，不能完全机械应用，也存在经验和概率。

　　 

　　  10分形就是一种秩序，是我们用来标识这个混沌市场的工具

　　  也因为有了分形，市场在我们的眼中，从复杂回归简单。

　　  每个分形都是不断重复的结果，一个分形就象一个沙砾，我们无法通过一个沙砾辩识沙堆的坍塌，但我们可以把握，在每一个临界，必然出现相同的特征

　　  稳定---------不稳定--------------稳定

　　  临界的把握是每一个交易者始终都在努力的方向，让我们一起

　　  积蓄----------临界---------------突破

　　  11一点窍门

　　  最近大家都在关注大盘何时见底，用分形做是等突破上分形开仓

　　  按照道氏的定义，熊市就是上分形不断减低，下分形不断减低，当一旦出现价格突破上分形，很多人会追买！这时，就提供了极好的观察窗。

　　  从根本上讲，我的理解熊市就是不断的逐级逐层套住追买成本，并在以后的反弹中呈现强烈的阻挡，当一个下降趋势的下分形是否为底，关键并不在于突破前上分形，而在于解放左侧追买成本，即突破前期依次抬高的两个上分形，这时的确立，才比较有效。

　　  当然，这样也滞后一些，解决也很简单，就个人的操作时间级别调低一级就可以了。

　　 

　　  我所以取较高的上分形和较低的下分形，是因为我认为价格有重复过去走势的倾向，即一个分形成立总是倾向与被穿越。同时，也可以避免对风险考虑不周和获利预期过小而拿不住单子。

　　  至于对一对分形的比较，当失去左侧可比较的分形，所依赖的，只有之前的一对同向分形（杠该），当价格以均速位移的话，自相似保持，当价格加速或者减速时，自相似很可能被打破。而我认为，自相似的最终倾向是被打破，然后开始新的循环，这就又扯到临界上去了。

　　  杠杆操作法的买入方法

　　 

　　  杠杆操作法主张在下面的情况时，考虑买入交易：

　　  1）在简单的上升趋势中；

　　  2）在复杂的上升趋势的回调中；----一般要出现向下分形

　　  3）向上突破新高点的时候；

　　  4）向上突破趋势停顿的时候；

　　  5）在趋势停顿的下沿买入，跌破下沿卖出；

　　  6）在趋势停顿的上沿卖出，向上突破上沿买入。

　　  市场告诉了我们什么？

　　  在你使用的时间结构中，或者，在上升趋势中，或者，在下跌趋势中，或者，没有趋势。

　　  比如，在上升趋势中，我们看到了不断出现的新高价，那么，市场“正是”在上升------我们没有必要特别注意，简单持有你的头寸就可以了。但是如果，市场“可能”不能保持这个上升，情况会如何？现象非常简单，出现分形！

　　  好了，无论出现什么样的分形，趋势一定会反转吗？你能够在任何地点确定趋势会反转吗？

　　  不能！

　　  另一方面，如果趋势发生反转，一定会出现分形吗？

　　  是的，一定会。

　　  所以，我们应该这样看待分形：当分形出现的时候，是我们应该关注市场的时候，尽管趋势并不一定反转；但是如果趋势实际上发生反转，那么一定有分形出现。

　　  分形是趋势反转的必要条件-------没有分形，就没有反转；

　　  分形不是趋势反转的充分条件-------即使出现分形，趋势也未必反转。

　　  显然，看见分形就作出交易行为是错误的--------这是教条主义。

　　 

　　  混沌的一个重要启示是：比较。

　　  你必须比较分形与分形，杠杆与杠杆，趋势与趋势，才能作出做有利的对策。请注意，我说的是“最有利”，而不是“能获利”，详细的说就是，我们能够做出对于我们的资本增长、风险控制的最有利的对策，但未必是一定获利的策略。

　　  比较还有一个含义，那就是：获利的交易，未必是正确的交易；亏损的交易，未必是错误的交易。当然，总是亏损也不行，我的意思是要保持长期稳定的获利，而并非一次两次正确或错误的交易。

　　 

　　  整体，也是混沌的一个重要启示。

　　  交易是一种整体性的行为，包括分析，判断，选择，决策等各项因素，绝非靠一个技巧，一个形态，一个指标能够完成的。战略与战术的综合运用，交易者与市场的和谐，纪律与发挥的统一，才是成功的源泉。

　　 
　　  但是，混沌说，“有”可以来自“无”，“实”当然也可能来自“空”。

　　  正确的交易思想是长期稳定获利的唯一途径。

　　 

　　  分形从交易思想上说是趋势可能停止的信号，被用作标定杠杆和描述趋势演进的过程。杠杆才是我们判断趋势的精确工具，运用任意几根相临的杠杆（无论其长度相同还是相异），我们都可以为进化中的趋势进行定性。

　　 

　　  尽管分形不具备趋势定性的功能，在分析市场的时候位于杠杆的从属地位，但在实际操作中却起着十分重要的作用，因为分形的出现往往意味着操作中我们的风险收益比处于有利的位置。

　　 

　　  举例来说，在上升趋势中涨势开始逐渐减缓，表现为上升杠杆长度相当下跌杠杆开始变短或下跌杠杆长度不变时上升杠杆开始变短；要么就是急涨后上升和下跌的杠杆都开始变短，使得上升的速率开始减小。这种情况下，复杂上升趋势的力度开始减弱的时候，通过向上分形的出现来选择交易机会就成为操作战略中至关重要的一步。
　　  　　 

　　  趋势何时能够反转？这个问题不好回答，原因在于我们目前给出的解释都无法兼顾及时与准确两方面的要求。那为什么不进行换位思考呢？记得庄周曾告诉我，趋势的反转的确存在一个临界点，但这个临界点通常都会被市场的自我保护功能幻于无形之中，否则投机就会变成很简单的事情。所以真正去寻找这个市场的临界点并不很重要，重要的是在市场出现转势征兆的时候我们的态度与行动。

　　 

　　  而发现趋势明显减缓后的分形就能帮我们找到战略制高点。

　　 

　　  由此，我们就可以派试探性的头寸进场，在没有出现止损的情况下，如果趋势真正出现反转（可以通过杠杆形态观察），我们将在反转后第一次反弹中派平衡性头寸进场；如果价格再次下跌，穿越了价格在高位震荡形成的重要支撑位置（这个位置可以通过传统的技术形态或杠杆形态找出），我们将派出最后一部分攻击性头寸进场。至此，一次交易理想的战略部署也就完成了。

　　 

　　  可以说，分形在整个交易的过程中都发挥着非常重要的作用。从试探性头寸、平衡性头寸的建立到趋势受阻时的减仓操作，基本上都是根据分形来完成的。真正通过杠杆完成的交易行为基本上只有建立攻击性头寸和止损两类。

　　 

　　  也就是说，杠杆带来的交易行为大多数都是明确的；而分形带来的交易行为多数都是试探性的，这与分形在分析趋势时的不确定性有关。既然这样，我们在利用分形抢占交易中的制高点时，就应对投入资金进行把握。

　　
　　  谁创立了分形几何学？

　　  1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

　　  分形几何与传统几何相比有什么特点：

　　  ⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。

　　  ⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

　　  什么是分维？

　　  在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

　　  分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。其实，Koch曲线的维数是1.2618……。

　　  Fractal（分形）一词的由来

　　  据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。

　　  分形的定义

　　  曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：

　　  （1）满足下式条件

　　  Dim(A)>dim(A)

　　  的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。

　　  （2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。

　　  然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。

　　  （i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。

　　  （ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。

　　  （iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。

　　  （iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。

　　  （v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。

　　  关于0.618的故事延续

　　  中世紀的物理學家、天文學家家科卜勒(J.Kepler1571-1630)對黃金分割做了很高的評價，他說：「幾何學有兩大寶藏，一個是畢氏定理；另一個是黃金分割。前者是金礦，而後者是珍貴的鑽石礦」。

　　  波浪理论的全称是艾略特波浪理论，是以美国人R.N.Elliott的名字命名的一种技术分析理论。波浪理论把股价的上下变动和不同时期的持续上涨、下跌看成是波浪的上下起伏。波浪的起伏遵循自然界的规律，股票的价格运动也就遵循波浪起伏的规律。简单地说，上涨是5浪，下跌是3浪。由于市场情况经常变化不定，也会产生其他浪形，根据数浪来判断股市行情。总之，波浪理论可以用一句话来概括：即“八浪循环”。如图3-16所示。

　　  图3-16 波浪理论图形

　　  波浪理论的基本特点：

　　  (1) 股价指数的上升和下跌将是交替进行的，推动浪和调整浪是价格波动的两种最基本的方式。

　　  (2) 推动浪由5个上升浪组成，即五浪上升模式。在市场中价格以一种特定的五浪形态，其中1、3、5浪是上升浪，2浪和4浪则是对1、3浪的逆向调整。

　　  (3) 调整浪由A、B、C三浪组成，即三浪调整模式。五浪上升运行完毕后将有A、B、C三浪对五浪上升进行调整，其中A浪和C浪是下跌浪，B浪是反弹浪。

　　  (4)

　　  第一浪有两种表现形式，一种属于构筑底部，另一种则为上升形态；第二浪有时调整幅度较大；第三浪通常最具爆发力，是运行时间及幅度最长的一个浪；第四浪经常以较为复杂的形态出现，以三角形调整形态的情况居多，并且不低于第一浪的顶；第五浪是上升中的最后一浪，力度大小不一。

　　  (5) A浪对五浪上升进行调整，下跌力度大小不一；B浪是修复A浪下跌的反弹浪，升势较不稳定；C浪下跌的时间长、幅度大，最具杀伤力。

　　  浪与浪之间的比率关系，经常受到斐波南希神奇数字组合比率的影响，下面介绍神奇比率与度量浪与浪之间的比例关系的具体运用。

　　  波浪之间的比例计算方式：

　　  (1) 波浪理论推测股市的升幅和跌幅采取黄金分割率和神奇数字去计算。一个上升浪可以是上一次高点的1.618，另一个高点又再乘以1.618，依此类推。

　　  (2) 另外，下跌浪也是这样，一般常见的回吐幅度比率有0.236、 0.382、0.5、0.618等。

　　  所以，波浪理论与神奇数字有着亲密的关系。为使投资者能较好地运用神奇数字对波浪定量分析，下面列出神奇数字比率及由其派生出来的数字比率的特性：

　　  (1) 0.236：是由0.382与0.618两个神奇数字比率相乘派生出来的比率值，有时会作为第三浪至第四浪的调整比例。

　　  (2) 0.382：第四浪常见的回吐比率及部分第二浪的回吐百分比，包括B浪的回吐过程。

　　  (3) 0.618：大部分第二浪的调整深度。对于A、B、C浪以“之”字形出现时，B浪的调整比率、第五浪的预期目标也与0.618有关。

　　  (4) 0.5：是0.382与0.618之间的中间数，作为神奇数比率的补充。对于A、B、C“之”字型调整浪，B浪的幅度经常会由0.5所维系。

　　  (5)

　　  1.236与1.382：对于A、B、C不规则的调整形态，我们可以利用B浪与A浪的关系，借助1.236与1.382两个神奇比例数字来预估B浪的可能目标值。

　　  (6) 1.618：由于第三浪在三个推动浪中多数为最长的一浪，以及大多数C

　　  浪极具破坏力。所以，我们可以利用1.618来维系第一浪与第三浪的比例关系，以及C 浪与A浪的比例关系。

　　  对于斐波南希神奇系列数字，我们已经了解到，在波浪理论中，尤其在对波浪理论的定量分析中，其起着极其重要的作用。其中0.382与0.618为常用的两个神奇数字比率，其使用频率较其他比率要高得多。在使用上述神奇数字比率时，投资者和分析者若与波浪形态配合，再加上其他指标的协助，能较好地预估股价见顶见底的讯号。

　　  另一方面，如果调整幅度超过45%，则可以断言0.382的支撑或阻力作用已失去。同样，当调整幅度超过70%时，亦表明0.618防线宣告失守。根据上述原则，投资者在具体操作时可以利用它来设置停损点。

　　  波浪理论同时也存在很多不足之处，具体如下：

　　  (1)

　　  怎样才算是一个完整的浪，也无明确定义，在股票市场的升跌次数绝大多数不按五升三跌这个机械模式出现。但波浪理论家却曲解说，有些升跌不应该计算入浪里面，数浪完全是随意主观的。

　　  (2)

　　  波浪理论有所谓的伸展浪，有时五个浪可以伸展成九个浪。但在什么时候或者在什么准则之下波浪可以伸展呢？艾略特却没有明言。这使数浪这回事变成各自启发，自己去想。

　　  (3)

　　  波浪理论使用者对现象的看法并不统一。每一个波浪理论家，包括艾略特本人，很多时候都会受到一个问题的困扰，就是一个浪是否已经完成而开始了另外一个浪呢？有时甲看是第一浪，乙看是第二浪。失之毫厘，谬以千里。看错的后果却可能十分严重。一套不能确定的理论用在风险很高的股票市场，运作错误足以使投资者损失惨重。

　　  (4)

　　  波浪理论的浪中有浪，可以无限伸延，即升市时可以无限上升，都是在上升浪之中，一个巨型浪，一百多年都可以。下跌浪也可以跌到无影无踪，都仍然是在下跌浪。只要是升势未完就仍然是上升浪，跌势未完就仍然在下跌浪。所以波浪理论也有它的局限性，如在推测浪顶浪底的运行时间方面，还需要借助其他方法，综合判断。

　　  混沌中的数学

　　         

　　  马克思曾经说过，一门学科，只有当它能够成功运用数学的时候，才有可能成为一门真正的科学。的确，数学总是以其简洁性，明确性走在所有科学的前列，任何学科都把能否能够成功运用数学作为自身是否成熟的标志。

　　 然而，混沌的世界却不象以往的数学那么单纯。

　　 在混沌的世界中，今天并不能预测明天，如果我们以简单的线性模式去理解世界，最终一定会被碰得头破血流。

　　         

　　  股票市场充斥着无数的交易者，他们是各行各业的精英，整体上看，无论是处世能力，专业学历，还是智商情商，都显然要高于任何其他行业。但是，就是在这样的一个市场，却天天在上演着悲剧：每十个交易者当中，有九个处于亏损状态。

　　 我想，交易者中一定有亏损累累的数学博士。

　　  作为职业的交易员，除了算数比较快以外，我并不精通数学，甚至不懂高等数学（当年在大学学的内容，已经基本上还给老师了），但是这些并不妨碍我交易获利，保持良好的交易成绩。

　　 混沌理论告诉我们：思维的方式要远比计算的方式重要。

　　  本文主要阐述的是混沌理论中的数学部分，不需要高深的数学知识，或者说，我希望交易者能够理解的并不是数学公式，而是公式本身带给我们的启发。

　　 本文同时是《混沌的启示》和《混沌理论在中国证券市场的应用》的姐妹篇。我试图通过这三篇文章，系统地解释混沌理论和混沌理论在中国证券市场的运用。

　　鉴于我对混沌理论的粗浅认识和理解，有不当之处，尚请读者多加批评指正。希望能够抛砖引玉，共同促进混沌理论在中国证券市场的推广和应用。

　　  一：迭代

　　         在中学课本中我们学过，一个一元函数，通常可以表示为：

　　         Y=f(x)

　　         这里X是自变量，Y是因变量。例如：

　　         Y=3X+1，

　　         如果X=1，那么Y=4；如果X=4，那么Y=13；总之，如果X被确定，那么相应的Y也被确定。

　　         我们用一个抽象的符号F，来表示Y遵循X变化的因果关系。废话连篇的解释是：数字Y随数字X的变化而变化，Y由X来决定，决定的依据是“关系”F。

　　        

　　  如果我们利用某个关系函数，比如Y=F（X），代入一个X算出一个Y，又将Y作为新的X再次计算下一个Y………如此不断，这种方法在数学上称为迭代，具体的表达式是：

　　         Xn =F(X n-1 )，n=1，2，3……..

　　        

　　  通常，数学家们只研究[0，1]区间到[0，1]区间-------不仅Xn-1在[0，1]区间，而且Xn也在[0，1]区间-------的迭代，因为任何[a，b]区间到[a，b]区间的迭代，都可以通过“变量转换”-------将X’=（x-a）/（b-a）看成是迭代变量------转换成[0，1]区间到[0，1]区间的迭代。

　　  [0，1]区间之所以受到非常重视，是因为[0，1]区间的每一个数字都具有“占

　　  有多少的份额”的直观意义，比如0.3，就是30%。

　　        看一个具体的迭代例子：Xn=Axn-1(1-Xn-1)，其中A是常数。这是一个生态学的有关公式，表达的是某个物种的规模变化规律。

　　        如果我们假设A=1.5，X是一个小于1的数字，比如0.1，那末数次迭代的数据是：

　　        迭代次数                  Xn-1                     Xn

　　              1                          0.1                      0.135

　　              2                          0.135                  0.175

　　              3                          0.175                  0.217

　　              4                          0.217                  0.225

　　              5                          0.225                  0.285

　　              6                          0.285                  0.305

　　              7                          0.305                  0.318

　　              8                          0.318                  0.325

　　              …………………………….

　　              ……………………………..

　　             20                         0.333                  0.333

　　         可以看到，大约经过20次迭代以后，Xn稳定在1/3左右。

　　          在证券市场，几乎每个人都知道费波那齐数列（Fibonacci

　　  Series），其实这也是一个经过迭代而产生的数列，不过稍微有些复杂，其表达式是：

　　          Xn+2=Xn+Xn+1 ，n=2，3；

　　          整个数列是：2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…………..即每一个数字为前面两个数字的和。

　　        

　　  费波那齐数列有一个特性，那就是：如果我们把费波那齐数列中的每一个数字和随后的数字相比，就会得到一系列越来越接近无理数0.618………….的数字。比如：

　　         2/3=0.66666…..

　　         3/5=0.6

　　         5/8=0.625

　　         8/13=0.6154

　　         …………….

　　         55/89=0.61798

　　         89/144=0.61805

　　         ……………….

　　       

　　  因此，我们也可以称费波那齐数列为一个等比数列，这个等比数列的公比q无限趋近于无理数0.618………….数学上称公比q向0.618……收敛--------当费波那齐数列中相比的数字逐步增大的时候，公比q一大一小地，向0.618………无限接近。

　　       

　　  0.618…..，又称为黄金数字。据说，任何物体形状如何符合这个数字比例，会给人以美感和舒适感。这个数字还有其他一些特点，比如：1/0.618=1.618；0.618*0.618=0.382=1-0.618等等；在《混沌理论在中国证券市场的应用》一文中，我们会再次提到它。

　　在数学上，一个迭代的公式被看做是一个动力系统，点由于迭代而产生的变化和发展情况是动力系统研究的对象。同样，股票价格运动也是一个动力系统，其动力源泉是交易行为，或者说成交量，因此我们说，趋势（价格运动）是由一系列的交易迭代而形成的------在不同价格上的不同的成交量，就是数学中迭代的点，而价格运动本身就是迭代的结果。

　　  事实上，在股票市场中，并没有严格意义上的数学迭代，或者说，没有数学意义上那么公式化的迭代，但是毫无疑问，今天所有的交易，都会被计算到以前所有的交易中，推动今后的价格的发展变化-------也就是说，被迭代了，只是在某一个周期，趋势可能符合某一个迭代公式，而在其他周期时，则符合其他的迭代公式。

　　作为非理论研究者，或许我们没有必要去寻找所谓的证券迭代通项公式，但是知道其数学原理却是应该的。

　　  

　　  在《混沌的启示》中我们说过，证券市场是一个混沌的市场，想找出证券市场的迭代通项公式，绝非一件易事，如果有幸能够找到其中一个、两个，已经是非常难得了，何况，也许这个所谓的通项公式根本就不存在呢！

　　  二：周期

　　 把一个X放到F（X）中迭代，得到一个新的X’=F（X），一般地说，X和X’是不会相同的。但是有时候会有这样的情况，一个X迭代以后，得到的X’，和原来的X是相等的，就是说，X经过迭代以后，并没有变化，新的X’=X，还在原来的位置，这样的X叫做迭代函数F（X）的不动点。

　　  随便想一想就知道：有些迭代函数有不动点，而有些则没有。

　　 但是，[0，1]区间到[0，1]区间的迭代一定有不动点（这一点可以通过微积分中的介值定理证明，由于不动点并非本节重点，因此这里不做证明过程）。

　　      

　　  如果从X0开始按照公式Xn=F（Xn-1）迭代，迭代K次以后就回到原来的地方X0，但是迭代次数小于K时都不能回到X0，那么，X0就叫做函数F（X）的周期点，K就是函数F（X）的周期。

　　 我们以周期3为例做详细解释。

　　  Xn=F（Xn-1）是[0，1]区间到[0，1]区间的迭代。假如X0是这个迭代的3周期点，那么，X1=F（X0）≠X0，X2=F（X1）≠X1≠X0，而X3=F（X2）=X0，把这些点画在图中，可以看到：

　　 X0经过一次迭代到X1，X1经过一次迭代到X2，X2经过一次迭代又回到X0，就是说，X0经过三次迭代，又回到原来的地方。

　　就是因为X0经过三次迭代回到原位，所以X0叫3周期点。

　　  很显然，我们还能够注意到，X1也是3周期点，因为X1同样可以经过三次迭代后回来，同样，X2也是3周期点。所以，周期3的函数，至少有3个3周期点。

　　 现在你明白了，所谓的不动点，实际上就是1周期点。

　　        如果你是一名证券交易参与者，我不知道上面的文章会给你什么启示，对于我来说，产生了如下的感想：

　　  既然价格趋势由迭代产生，那么必然会产生周期，尽管周期可能非常难以琢磨和寻找，但是它的确是存在的，这一点，从那些运用周期理论的交易专家身上或许会得到更多的启发-------他们根本不关注价格变化而是仅仅关注价格周期和时间周期，并因此而取得令人敬佩的交易成绩。

　　  当然，我相信不是每一个使用周期的交易者都是专家，也不是每一个周期交易专家都懂得其中的数学原理-------证券市场的一个特点是：理论不能说明什么，获利才是硬道理。但是有些人号称能够将周期理论做改进，捕捉到市场每天的高低点，每天获利N%，就真的有些哗众取宠，胡说八道了。

　　     

　　  可能很多交易者仅仅听说过时间周期，没有听说过价格周期，其实很简单，既然有横向的时间周期，那么就必然有纵向的价格周期，从某个角度讲，价格周期可以理解为在某一时间段内价格的运动范围，但是并不完全相同。

　　 由于周期本身相当虚幻和深奥，这里不做深入探讨，我们会在《杠杆操作法中级------稳定获利》中继续讨论。

　　  三：沙可夫斯基定理和周期倍增分叉现象

　　         苏联数学家沙可夫斯基将所有的自然数按照如下的次序做了排列：

　　         3，5，7，9，11，13，15，17，……………..；

　　         3x2，5x2，7x2，9x2，11x2…………….；

　　         3x22，5x22，7x22，9x22，11x22…………..；

　　         3x23，5x23，7x23，9x23，11x23…………….；

　　         …………………………………

　　         ………….26，25，24，23，22，21，20。

　　 这个次序现在被称为沙可夫斯基次序。

　　  对于连续的区间迭代，沙可夫斯基证明了：假设M在沙可夫斯基次序中，排在N的前面，那么，如果有M周期点的话，就一定有N周期点。

　　 这就是沙可夫斯基定理。

　　 根据沙可夫斯基定理我们可以知道，如果一个函数有3周期，由于3在沙可夫斯基次序中处于最前面，那么这个函数就会有任意自然数的周期。

　　        周期倍增分叉现象：

　　        在函数Xn=AXn-1（1-Xn-1），n=1，2，3………….

　　  当中，随着参数A的增大，先是只有周期1的稳定解；当A增大到A1时，周期1的稳定解分叉为2个周期2的稳定解；当A增大到A2时，2个周期2的稳定解又分叉为4个周期4的稳定解…………当A增大到Am时，周期2m-1的稳定解又分叉为2m个周期2m的稳定解…………如此继续。

　　        沙可夫斯基定理和周期倍增分叉现象，在实际的证券交易中也许并没有什么意义，这里着墨，主要是为了介绍“数学对混沌的定义”和菲根鲍姆普适常数。

　　  四：数学对混沌的定义

　　1975年，华裔数学家李天岩和他的导师在《美国数学月刊》中发表了一篇论文，题目是《Period Three Implies Chaos》-------《周期3意味着混沌》，用数学的方法解释了“混沌（Chaos）”，并且第一次使用了Chaos这个词。

　　 李天岩在论文《Period Three Implies

　　Chaos》中，不仅再次证明了沙可夫斯基定理中“有周期3，就有任意自然数周期”的特例（在此之前，李天岩或许并不知道沙可夫斯基定理，因为沙可夫斯基本人并没有什么名气，也许可以这么说，沙可夫斯基反而是因为李天岩才名扬四海的），而且明确地刻画了“混沌（Chaos）”的数学含义：

　　设函数F（X）是[0，1]区间到[0，1]区间的连续迭代函数。如果F（X）有如 下性质，就说它有混沌现象：

　　（1） F（X）的周期无上限；

　　（2） 在区间[0，1]中有一个不可数的子集S，使得：

　　  ① 对于S中任意不同的两点X0和Y0，考虑迭代序列Xn=F（Xn-1）和    

　　  Yn=F（Yn-1），n=1，2，3………，当n趋于无穷大的时候，它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0，下极限等于0；

　　  ② 对于X0是S中的一个任意点而Y0是迭代的任意一个周期点，考虑迭代序列Xn=F（Xn）和Yn=F（Yn），n=1，2，3………，当n趋于无穷大时，它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0。

　　         

　　  对于非数学专业的交易者来说，恐怕会被混沌的数学定义搞得晕头转向，说实话，我也是稀里糊涂的。向前数大约1200字，是我请了9个搞数学的朋友，喝了7次茶才写出来的，不过，这7茶可没有白喝，我虽然没有明白数学对混沌定义的深刻含义，但是我明白了一个非常简单的道理，那就是：

　　  周期3导致了混沌。

　　        

　　  如果你想使用一种工具，或者建立一个系统，那么，首先就是要了解这种工具或系统的原理和特性，这是必须的一步。这一步没有坚实的基础，以后所有的都是空中楼阁。

　　         

　　  我们在《混沌的启示》一文中，初步介绍了证券市场的结构------分形------一个由五支K线组成的形态，表示市场趋势受到了压力或支持。一个分形实际上，在形成以后，最重要的是3支K线，即后面的3支K线。以向上分形为例，在趋势向上的过程的高点以后，如果仅出现一支K线没有新高，并不能说明什么，市场可能是停顿，也可能是继续前进，但是一旦连续两个周期没有出现新高点，和有高点的那一周期，就形成了一个3周期的结构。这个3周期所形成的结构，就可以理解为周期3-------一个导致混沌的数字。

　　        当然，周期3未必就一定导致混沌，因此，我们也把分形分成各种不同类型，比如坚定的分形、犹豫的分形和等待的分形。

　　       

　　  另外一个非常重要的观点是：没有分形同样是一种结构------趋势运动有秩序的结构------这个结构简单流畅，是导致我们获利结构，是我们喜欢的结构。

　　        事实证明，无论在中国市场，还是外国市场，分形，或者说周期3，都一种有效的结构、一个有与其他数字有本质区别的数字，至少表现在：

　　  1、 周期3导致混沌；

　　  2、 周期3是第一个可能导致混沌的周期；

　　  3、 有周期3，就有任意周期；

　　  4、 分形涵盖了所有的市场趋势反转；

　　  5、 在没有出现分形的时候，市场趋势不可能反转，只可能延续；

　　  6、 两个逆向分形所形成的杠杆，和分形的周期3有“自我相似”，以最简洁的方式体现出价格趋势的自组织系统及其运动方式；

　　  7、 周期3最具有实战价值。

　　  这些将在《混沌理论在中国证券市场的应用》、《杠杆操作法初级：告别亏损》中做详细的介绍。

　　  按照拉瑞-威廉的“环形”概念，同样可以得出周期3的结论，但是我认为，环形的变化过于复杂，而且没有分形稳定：在大多数时候，会导致交易者过量交易（Over Trade）。

　　 目前国内证券市场的波动相对安稳，并不剧烈，而且交易费用也不理想，频繁交易不是一种好的选择。

　　  五：菲根鲍姆普适常数

　　          在混沌理论中，菲根鲍姆常数也是一个重要内容。

　　         

　　  美国康奈尔大学的物理学家菲根鲍姆（Feigenbaum），发现了被誉为“本世纪最伟大”的发现--------在周期倍增分叉现象中更深层次的规律-----从而揭示出系统从有秩序转向混沌的秘密。

　　       

　　  菲根鲍姆发现：在周期倍增分叉过程中，随着分叉次数M的增加，相邻的两个分叉点λm和λm+1的间距Δm=λm+1-λm组成一个渐进的等比数列，分叉宽度ξm也组成一个渐进的等比数列，并且这两个等比数列都有极限。菲根鲍姆测出了这两个等比数列的公比，它们的倒数分别叫做菲根鲍姆常数δ和菲根鲍姆常数α，它们分别是：δ=4.669201……..，α=2.50290…………。

　　          据菲根鲍姆自己说，周期倍增分叉现象和规律的发现，大大地改变了人类对宇宙的认识。

　　          一个系统是否稳定，对我们是一个非常非常重要的问题。

　　  简单的说，如果现在的情况差别不大，随着系统的运行，将来的差别也不大，那么就说系统是稳定的，否则就是不稳定的。但是，稳定和不稳定之间，并没有不可逾越的鸿沟。 菲根鲍姆告诉我们，通向混沌之路，并非是混沌的，而且，这些路是可能探索的。

　　  前面我们说过，在证券市场中，每一个趋势都是一个自组织系统，理解成复杂的数学迭代也未尝不可。作为理论研究者，也许会去试图寻找其中的“菲根鲍姆常数”，但是作为交易者，则需要的是对理论的深刻理解，然后用来指导实践，并以此获利。

　　  混沌理论中的数学，内容要远比我写的多得多。这里做的基础介绍，对于数学专业的交易者来说太浅，对于非数学专业的交易者，可能又太深，不过我能说的，也只有这么多了。

　　   在证券市场，对于交易者来说，我觉得重要的不是知识本身，而是对知识的思考、理解和应用。

　　  市场上有许多“高手”，

　　  狭隘地执着于技术分析或基础分析，更有甚者，执着于狂妄的幻想，可以在某些时刻，甚至是某些时间，在市场中获利。可是，这并非是长久之计。

　　唐能通（幻想形）就是个很好的例子。当市场处于强大的牛市的时候，无论怎么买都是对的：涨可以追涨，跌可以摊低成本。于是当熊市来临的时候，他失踪了。

　　  作为中国股民，在一个仅仅十年的市场中，我们经历了太多的沧桑（或许美国人也同样如此）：我们还需要学习很多，我们还需要理解很多，我们还需要辨别很多。

　　          愿真理与我们同在。

　　

　　  第十七式：时乘六龙—— 费氏数列的运用方法（时间周期、比例）

　　  基本概念

　　  一、斐波南希数列为波浪理论的结构基础     

　　  艾略特，波浪理论的开山祖师，在1934年公开发表波浪理论，指出股市走势依据一定的模式发展，涨落之间，各种波浪有节奏地重复出现，艾略特创立的波浪理论，属于一整套精细的分析工具，包括下列三个课题：1、波浪运行的形态；2、浪与浪之间的比率；3、时间星期。

　　      艾略特在1946年发表的第二本著作，索性就命名为《大自然的规律》（Nature's

　　  Law）。波浪理论第二个重要课题，系浪与浪之间的比率，而该比率实际上跟随神奇数字系列发展。艾略特在《大自然的规律》一书中谈到，其波浪理论的数字基础是一系列的数列，是斐波南希在13世纪时所发现的，因此，此数列一般却称之谓斐波南希数列。

　　      神奇数字系列本身属于一个极为简单的数字系列，但其间展现的各种特点，令人对大自然奥秘，感叹玄妙之余，更多一份敬佩。

　　      其实早在中国《道德经》第四十三章中就道出了神奇数字系列的真谛：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”神奇数字系列包括下列数字：

　　  1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597……直至无限。

　　  构成斐波南希神奇数字系列的基础非常简单，由1，2，3开始，产生无限数字系列，而3，实际上为1与2之和，以后出现的一系列数字，全部依照上述简单的原则，两个连续出现的相邻数字相加，等于一个后面的数字。例如3加5等于8，5加8等于13，8加13等于21，……直至无限。表面看来，此一数字系列很简单，但背后却隐藏着无穷的奥妙。这个数列被称为费波纳奇数列。这个数列有如下特性：

　　  （１）任何相列的两个数字之和都等于后一个数字，例如：

　　  1＋1＝2；

　　  2＋3＝5；

　　  5＋8＝13；

　　  144＋233＝377；

　　  ……

　　  （２）除了最前面３个数（１，２，３），任何一个数与后一个数的比率接近０.６１８，而且越往后，其比率越接近０.６１８：

　　  3÷5＝0.6；

　　  8÷13＝0.618；

　　  21÷34＝0.618；

　　  ……

　　  （３）除了首３个数外，任何一个数与前一个数的比率，接近１．６１８。有趣的是

　　  １.６１８的倒数是０．６１８。例如：

　　  13÷8＝1.625；

　　  21÷13＝1.615；

　　  34÷21＝1.619；

　　  ……

　　  二、平方的秘密

　　      俄罗斯著名数学家韦罗斯利夫，曾经发表的神奇数字研究论文报告中，提示许多有关斐波南希神奇数字的神秘性，其中之一就是神奇数字平方的秘密。

　　     

　　  1、由1开始，可能随意选取连续出现的相邻两神奇数字，数目可不限，先将这些神奇数字进行平方，然后将平方所得数字进行相加，其和必定等于最后一个神奇数字与接着出现的下一个神奇数字相乘。

　　     

　　  2、除了上述出现的两个连续出现的神奇数字的平方具有的神奇的关系外，还具有两个相隔出现的神奇数字平方的神奇关系。其方法就是两相隔神奇数字的高位神奇数字的平方减去低位神奇数字的平方，两平方数字之差的结果必然属于另一个神奇数字。例：

　　  5×5-2×2=21    8×8-3×3=55    13×13-5×5=144……

　　     

　　  由上述分析，读者不难理解，平方在波浪理论的定量分析上亦占有一定的地位。例如，全世界独一无二的惊世股票豫园商城从其100元的票面飚升至10000元之上，正巧是其起始价的平方值附近。是否我们可斗胆地说，沪市的起点是100附近，则未来等待它的目标10000点？！

　　  三、神奇数字比率     

　　  波浪比波浪之间的比例，经常出现的数字，包括0.236,0.382,0.618以及1.618等，这些数字中的0.382和0.618我们亦称之为黄金分割比率。实际上，上述比率的来源，亦来自于神奇数字系列。

　　     

　　  1、在斐波南希的神奇数字系列中，任取相邻两神奇数字，将低位的神奇数字比上高位的神奇数字，其计算的结果会逐渐接近于0.618，数值位愈高的数字，其比率会更接近于0.618。

　　     

　　  2、在斐波南希的神奇数字系列中，任取相邻两神奇数字，若与上述相反，将高位的神奇数字比上低位的神奇数字，则其计算的结果会渐渐趋近于1.618。同理，数值位取得愈高，则此比率会愈接近于1.618.

　　      3、若取相邻隔位两个神奇数字相除，则通过高位与低位两数字的交换，可分别得到接近于038.2及2.618的比率。

　　      4、将0.382与0.618这两个重要的神奇数字比率相乘则可得另一重要的神奇数字比率：0.382×0.618=0.236

　　  上述几个由神奇数字演变出来的重要比率：0.236,0.382,2.618以及0.5（其中0.236和0.618是著名的黄金分割比率）是波浪理论中预测未来的高点或低点的重要工具.

　　  四、神奇数字与股价波浪

　　     

　　  在波浪理论的范畴内，多头市况（牛市）阶段可以由一个上升浪代表，亦可以划分为五个小浪，或者进一步划分为二十一个次级浪甚至还可以继续细分出长至八十九个细浪，对于空头市况（熊市）阶段，则可以由一个大的下跌浪代表，同样对一个大的下跌浪可以划分为三个次级波段。或者可以进一步地再划分出十三个低一级的波浪甚至最后可看到五十五个细浪。

　　     

　　  综上所述，我们可以不难理解地得出这样的结论，一个完整的升跌循环，可以划分为二、八、三十四或一百四十四个波浪。在此不难发现，上面出现的数目字，包括1、2、3、5、8、13、21、34、55、89及144，全部都属于神奇数字系列。

　　      浪与浪之间的比率关系，亦经常受到斐波南希神奇数字组合比率的影响，下面我们介绍神奇比率与度量浪与浪之间的比例关系的具体运用：

　　     

　　  1、对于推动浪来说，如果推动浪中的一个子浪成为延伸浪的话，则其他两个推动浪不管其运行的幅度还是运行的时间，都将会趋向于一致。也就是说，当推动浪中的第三浪在走势中成为延伸浪时，则其他两个推动浪，第一浪与第五浪的升幅和运行时间将会大致趋于相同。假如并非完全相等。则极有可能以0.618的关系相互维系。

　　      2、第五浪最终目标，可以根据第一浪浪底至第二浪浪顶距离来进行预估，他们之间的关系，通常亦包含有神奇数字组合比率的关系.

　　     

　　  3、对于A-B-C三波段调整浪来说，C浪的最终目标值可能根据A浪的幅度来预估。C浪的长度，在实际走势中，会经常是A浪的1.618倍。当然我们也可以用下列公式预测C浪的下跌目标：A浪浪底减A浪乘0.618；

　　  （4）对于对称三角形的整理形态的波浪走势来看，在对称三角形内，每个浪的升跌幅度与其他浪的比率，通常以0.618的神奇比例互相维系。

　　      所以，波浪理论与神奇数字，关系亲密。为使读者能较好地运用神奇数字对波浪的定量分析，

　　  下面列出与神奇数字比率及其派生出来的数字比率的特性：

　　     （一）0.382：第四浪常见的回吐比率及部分第二浪的回吐百分比，B浪的回吐过程（ABC浪以之字形运行）；

　　    

　　  （二）0.618：大部分第二浪的调整深度。对于ABC浪以之字形出现时，B浪的调整比率。第五浪的预期目标与0.618有关。三角形内的浪浪之音质比例由0.618来维系；

　　     （三）0.5：0.5是0.382与0.618之间的中间数，作为神奇数比率的补充。对于ABC之字型调整浪，B浪的调整幅度经常会由0.5所维系。

　　    

　　  （四）0.236：是由0.382与0.618两神奇数字比率相乘派生出来的比率值。有时会作为第三浪或第四浪的回吐比率，但一般较为少见，常常是在事后才如梦初醒，调整过程已经结束；

　　    

　　（五）1.236与1.382：对于ABC不规则的调整形态，我们可以利用B浪与A浪的关系，借助1.236与1.382两神奇比例数字来预估B浪的可能目标值；

　　     （六）1.618：由于第三浪在三个推动浪中多数为最长一浪，以及大多数C 浪极具破坏力。所以，我们可以利用1.618来维系第一浪与第三浪的比例关系和C

　　  浪与A浪的比例关系；对于斐波南希神奇系列数字，读者已经了解到在波浪理论中，尤其在对波浪理论的定量分析中，起着极其重要的作用。其中0.382与0.618为常用的两个神奇数字比率。其使用频率较其它的比率要高得多。

　　  在使用上述神奇数字比率时，投资者和分析者若与波浪形态配合，再加上动力系统指标的协助，能较好地预估股价见顶见底的讯号。

　　      另一方面，如果回吐幅度超过45%，则可以断言0.382的支撑或阻力作用已失去。

　　      同样，当调整幅度起过70%时，亦表明0.618防线宣告失守。根据上述原则，投资者在具体操作时可以利用它来设置停损点。

　　  实用技巧

　　  黄金分割线

　　      黄金分割是一个古老的数学方法。对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。

　　  在股票的技术分析中，还有一个重要的分析流派--波浪理论中要用到黄金分割的内容。在这里，我们仅仅说明如何得到黄金分割线，并根据它的指导进行下一步的买卖股票的操作。

　　  画黄金分割线的第-步是记住若干个特殊的数字：

　　  0．191 0．382 0．618 0．809

　　  1．191 1．382 1．618 1．809

　　  2 2．618 4．236

　　  这些数字中0．382，0．618，1．382，1．618最为重要，股价极为容易在由这四个数产生的黄金分割线处产生支撑和压力。

　　  第二步是找到一个点。这个点是上升行情结束，调头向下的最高点，或者是下降行情结束，调头向上的最低点。当然，我们知道这里的高点和低点都是指一定的范围，是局部的。只要我们能够确认一个趋势(无论是上升还是下降)已经结束或暂时结束，则这个趋势的转折点就可以作为进行黄金分割的点，这个点一经选定，我们就可以画出黄金分割线了。

　　  在上升行情开始调头向下时，我们极为关心，这次卜落将在什么位置获得支撑。黄金分割提供的是如下几个价位，它们是由这次上涨的顶点价值分别乘上上面所列特殊数字中的几个。假设，这次上涨的顶点是10元，则

　　  8．09＝10×0．809

　　  6．18＝10×0．618

　　  3．82= 10×0．382

　　  1．91＝10×0．191

　　  这几个价值极有可能成为支撑，其中6．18和3．82的可能性最大。

　　  同理，在下降行情开始调头向上时，我们关心上涨到什么位置将遇到压力。黄金分割线提供的位置是这次下跌的底点价位乘上上面的特殊数字。假设，这次下落的谷底价位为10元，则

　　  11．91＝10×1．191 20＝10×2

　　  13．82＝10×1．382 26．18＝10×2．618

　　  16．18＝10×1．618 42．36＝10×4．236

　　  18．09＝10×1．809

　　  将可能成为未来的压力位。其中13．82，16．18以及20成为压力线的可能性最大，超过20的那几条很少用到。

　　  百分比线

　　  百分比线考虑问题的出发点是人们的心理因素和一些整数的分界点。

　　  当股价持续向上，涨到一定程度，肯定会遇到压力，遇到压力后，就要向下间撤，回撤的位置很重要。黄金分割提供了几个价位，百分比线也提供了几个价位。

　　  以这次上涨开始的最低点和开始向下回撤的最高点两者之间的差，分别乘上几个特别的百分比数，就可以得到未来支撑位可能出现的位置。

　　  设低点是10元，高点是22元。这些百分比数一共10个，它们是

　　  0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 1 0.33 0.67

　　  这里的百分比线中，的这二条线最为重要。在很大程度上，回撤到是人们的一种心理倾向。如果没有回落到以下，就好像没有回落够似的；如果已经回落了音，人们自然会认为已经回落够了，因为传统的定胜负的方法是三打二胜利。就是常说的二分法。

　　  上面所列的10个特殊的数字都可以用百分比表术。之所以用上面的分数表示，是为了突出整数的习惯。这10个数字中有些很接近。对于下降行情中的向上反弹，百分比线同样也适用。其方法与上升情况完全相同。

　　  速度线

　　      同扇形原理考虑的问题一样，速度线(speed

　　  line)也是用以判断趋势是否将要反转的。不过，速度线给出的是固定的直线，而扇形原理中的直线是随着股价的变动而变动的。另外，速度线又具有一些百分比线的思想。它是将每个上升或下降的幅度分成三等分进行处理，所以，有时，我们又把速度线称为三分法。

　　  速度线的画法如下所述。

　　  首先，找到一个上升或下降过程的最高点和最低点(这一点同百分比线相同)，然后，将高点和低点的垂直距离三等分。

　　  第二步是连接高点(在下降趋势中)与0.33分界点和0.67分界点，或低点(在上升趋势中)与0.33和0.67分界点，得到两条直线。这两条直线就是速度线

　　  与别的切线不同，速度线有可能随时变动，一旦有了新高或新低，则速度线将随之发生变动，尤其是新高和新低离原来的高点低点相距很近时，更是如此，原来的速度线可以说一点用也没有。

　　  速度线一经被突破，其原来的支撑线和压力线的作用将相变换位置，这也是符合支撑线和压力线的一般规律的。

　　  速度线最为重要的功能是判断一个趋势是被暂时突破还是长久突破(转势)。其基本的思想叙述如下：(1)在上升趋势的调整之中，如果向下折返的程度突破了位于上方0.67的速度线，则股价将试探下方的0.33速度线。如果速度线被突破，则股价将一泻而下，预示这一轮上升的结束，也就是转势。(2)在下降趋势的调整中，如果向上反弹的程度突破了位于下方的0.67速度线，则股价将试探上方的0.33速度线。如果0.33速度线被突破，则股价将一路上行，标志这一轮下降的结束，股价进入上升趋势。

　　  甘氏线

　　  甘氏线(Gann line)分上升甘氏线和下降甘氏线两种，是由William

　　  D．Gann创立的一套独特的理论。Gann是一位具有传奇色彩的股票技术分析大师。甘氏线就是他将百分比原理和几何角度原理结合起来的产物。甘氏线是从一个点出发，依一定的角度，向后画出的多条直线，所以，有些书上把甘氏线称为角度线。

　　  每条直线都有支撑和压力的功能，但这里面最重要的是45度线、63．75度线和26．25度线。这三条直线分别对应百分比线中的50％，62．5％和37．5％百分比线。其余的角度虽然在股价的波动中也能起一些支撑和压力作用，但重要性都不大，都很容易被突破。

　　  具体画甘氏线的方法是首先找到一个点，然后以此点为中心按照图8．16所画的各条直线直接画到图上即可。

　　  被选择的点同大多数别的选点方法一样，一定是显著的高点和低点，如果刚被选中的点马上被创新的高点和低点取代，则甘氏线的选择也随之变更。

　　  如果被选到的点是高点，则应画下降甘氏线。这些线将在未来起支撑和压力作用。

　　  如果被选到的点是低点，则应画上升甘氏线。这些线将在未来起支撑和压力作用。

　　  实例

　　     

　　  在外汇市场的交易中，运用费氏数列能够准确预测到市场波动的时间周期和幅度比例。由于篇幅的关系，我们几天就只给大家举一个关于运用费氏数列幅度比例准确测算相对底部的经典案例。在2003年6月欧元/美元爆发了一轮一千多点的回调行情。在8月底9月初的时候，汇价碰触到了从2002年9月0.9607开始到2003年6月1.1929这轮上涨的50%黄金分割线位置，并且在月K线上拉出了一根很长的下影线。根据费氏数列，我们敏锐的察觉到，这轮欧元的回调已经见底了。之后，我们及时在相对低点区域入场做多。再次成功的在极限点位入场做多。（

　　  查看(89) 评论(0) 收藏 分享 圈子 管理 鐵血0.618

　　  2007-10-31 00:09:43

　　  

　　  0.618，一個極為迷人而神秘的數字，而且它還有著一個很動聽的名字——黃金分割律，它是古希臘著名哲學家、數學家畢達哥拉斯于2500多年前發現的。古往今來，這個數字一直被後人奉為科學和美學的金科玉律。在藝術史上，幾乎所有傑出作品都不謀而合地驗證了這一著名的黃金分割律，無論是古希臘帕特農神廟，還是中國古代的兵馬俑，它們的垂直線與水準線之間竟然完全符合1比0.618的比例。

　　     

　　  也許，0.618在科學藝術上的表現我們已了解了很多，但是，你有沒有聽說過，0.618與炮火連天、硝煙瀰漫、血肉橫飛的戰場也有著不解之緣，在軍事上也顯示出它巨大而神秘的力量？

　　     

　　  其實，早在自覺把握黃金分割律的意識產生之前，人們已經憑著直覺，將它運用到了各個方面，這裡面自然不會遺漏軍事領域。信手翻開歷史上的戰爭卷帙，你一定會吃驚地發現，0.618就恰似一條金帶，隱現于古今中外大大小小的戰爭之中。

　　  0.618與武器裝備

　　      說到0.618，我們總是很自然地把它與優美迷人的藝術作品聯繫起來，很少想到它也會在武器這樣的“兇器”上面，展現出它的“風姿”。

　　     

　　  在冷兵器時代，雖然人們還根本不知道黃金分割率這個概念，但人們在製造寶劍、大刀、長矛等武器時，黃金分割率的法則也早已處處體現了出來，因為按這樣的比例製造出來的兵器，用起來會更加得心應手。

　　     

　　  當發射子彈的步槍剛剛製造出來的時候，它的槍把和槍身的長度比例很不科學合理，很不方便於抓握和瞄準。到了1918年，一個名叫阿爾文·約克的美遠征軍下士，對這種步槍進行了改造，改進後的槍型、槍身和槍把的比例恰恰符合0.618的比例。

　　     

　　  實際上，從鋒利的馬刀刃口的弧度，到子彈、炮彈、彈道導彈沿彈道飛行的頂點；從飛機進入俯衝轟炸狀態的最佳投彈高度和角度，到坦克外殼設計時的最佳避彈坡度，我們也都能很容易地發現黃金分割率無處不在。

　　     

　　  在大炮射擊中，如果某種瞄火炮的最大射程為12公里，最小射程為4公里，則其最佳射擊距離在9公里左右，為最大射程的2/3，與0.618十分接近。在進行戰鬥部署時，如果是進攻戰鬥，大炮陣地的配置位置一般距離己方前沿為1/3倍最大射程處，如果是防禦戰鬥，則大炮陣地應配置距己方前沿2/3倍最大射程處。

　　  0.618與戰術布陣

　　     

　　  在我國歷史上很早發生的一些戰爭中，就無不遵循著0.618的規律。春秋戰國時期，晉厲公率軍伐鄭，與援鄭的楚軍決戰于鄢陵。厲公聽從楚叛臣苗賁皇的建議，把楚軍右軍作為主攻點，因此以中軍的一部進攻楚軍的左軍；以另一部進攻楚軍的中軍，集上軍、下軍、新軍及公族之卒，攻擊楚軍右軍。其主要攻擊點的選擇，恰在黃金分割點上。

　　     

　　  把黃金分割律在戰爭中體現得最為出色的軍事行動，還應首推成吉思汗所指揮的一系列戰事。數百年來，人們對成吉思汗的蒙古騎兵，為什麼能像颶風掃落葉般地席捲歐亞大陸頗感費解，因為僅用遊牧民族的彪悍勇猛、殘忍詭譎、善於騎射以及騎兵的機動性這些理由，都還不足以對此做出令人完全信服的解釋。或許還有別的更為重要的原因？仔細研究之下，果然又從中發現了黃金分割律的偉大作用。蒙古騎兵的戰鬥隊形與西方傳統的方陣大不相同，在它的5排制陣形中，人盔馬甲的重騎兵和快捷靈動的輕騎兵的比例為2:3，這又是一個黃金分割！你不能不佩服那位馬背軍事家的天才妙悟，被這樣的天才統帥統領的大軍，不縱橫四海、所向披靡，那才怪呢。

　　     

　　  歐洲人是最早有意識地把黃金分割律運用於宗教和藝術方面的，他們在這方面確實顯示出了他們驚人的天賦與才能，但是在把這一定律運用到軍事領域時，則似乎“開竅”得比較晚，大大落後於中國人，一直到了黑火藥時期才得以開始在軍事上應用。在這個時期，滑膛槍漸漸呈現取代長矛之勢，荷蘭將軍摩利士率先將滑膛槍兵和長矛兵對半混編，以對傳統的方陣進行改造，但他的新的布兵方陣還是存在著很大的缺陷。後來，瑞典國王古斯塔夫對這種正面強側面弱的陣形按黃金分割法進行了調整，才使瑞典軍隊成為當時歐洲最有戰鬥力的軍隊之一。

　　     

　　  馬其頓與波斯的阿貝拉之戰，也是歐洲人成功運用0.618于戰爭中的一個比較成功的範例。在這次戰役中，馬其頓的亞歷山大大帝把他的軍隊的攻擊點，選在了波斯大流士國王軍隊的左翼和中央結合部。巧的是，這個部位正好也是整個戰線的“黃金點”，所以儘管波斯大軍多於亞歷山大的兵馬數十倍，但憑藉自己的戰略智慧，亞歷山大把波斯大軍打得潰不成軍。這一戰爭的深刻影響直到今天仍清晰可見，在海灣戰爭中，多國部隊就是採用了類似的布陣法打敗了伊拉克軍隊。

　　     

　　  兩支部隊交戰，如果其中之一的兵力、兵器損失了1/3以上，就難以再同對方交戰下去。正因為如此，在現代高技術戰爭中，有高技術武器裝備的軍事大國都採取長時間空中打擊的辦法，先徹底摧毀對方1/3以上的兵力、武器，而後再展開地面進攻。讓我們看一看海灣戰爭的例子。戰前，據軍事專家估計，如果共和國衛隊的裝備和人員，經空中轟炸損失達到或超過30％，就將基本喪失戰鬥力。為了使伊軍的損耗達到這個臨界點，美英聯軍一再延長轟炸時間，持續38天，直到摧毀了伊拉克在戰區內428輛坦克中的38%、2280輛裝甲車中的32%、3100門火炮中的47%，這時伊軍實力下降至60%左右，這正是軍隊喪失戰鬥力的臨界點。也就是將伊拉克軍事力量削弱到黃金分割點上後，美英聯軍才抽出“沙漠軍刀”砍向薩達姆，在地面作戰只用了100個小時就達到了戰爭目的。

　　     

　　  此外，在現代戰爭中，許多國家的軍隊在實施具體的進攻任務時，往往是分梯隊進行的，第一梯隊的兵力約佔總兵力的2/3，第二梯隊約佔1/3。在第一梯隊中，主攻方向所投入的兵力通常為第一梯隊總兵力的2/3，助攻方向則為1/3。防禦戰鬥中，第一道防線的兵力通常為總數的2/3，第二道防線的兵力兵器通常為總數的1/3。

　　  0.618與戰略戰役

　　      0.618不僅在武器和一時一地的戰場布陣上體現出來，而且在區域廣闊、時間跨度長的宏觀戰爭中，也無不得到充分地展現。

　　     

　　  一代梟雄拿破侖大帝可能怎麼也不會想到，他的命運會與0.618緊緊地聯繫在一起。1812年6月，正是莫斯科一年中氣候最為涼爽宜人的夏季，在未能消滅俄軍有生力量的博羅金諾戰役後，拿破侖於此時率領著他的大軍進入了莫斯科。這時的他可是躊躇滿志、不可一世。他並未意識到，天才和運氣此時也正從他身上一點點地消失，他一生事業的頂峰和轉捩點正在同時到來。後來，法軍便在大雪紛揚、寒風呼嘯中灰溜溜地撤離了莫斯科。三個月的勝利進軍加上兩個月的盛極而衰，從時間軸上看，法蘭西皇帝透過熊熊烈焰俯瞰莫斯科城時，腳下正好就踩著黃金分割線。

　　     

　　  1941年6月22日，納粹德國啟動了針對蘇聯的“巴巴羅薩”計劃，實行閃電戰，在極短的時間裏，就迅速佔領了蘇聯廣袤的領土，並繼續向該國的縱深推進。在長達兩年多的時間裏，德軍一直保持著進攻的勢頭，直到1943年8月，“巴巴羅薩”行動結束，德軍從此轉入守勢，再也沒能力對蘇軍發起一次可以稱之為戰役行動的進攻。被所有戰爭史學家公認為蘇聯衛國戰爭轉捩點的史達林格勒戰役，就發生在戰爭爆發後的第17個月，正是德軍由盛而衰的26個月時間軸線的黃金分割點。

　　  稿件來源：大科技

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　　  2007-10-30 01:43:30

　　  数学家法布兰斯在13世纪写了一本书，关于一些奇异数字的组合。这些奇异数字的组合是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……

　　  任何一个数字都是前面两数字的总和。2＝1＋1、3＝2＋1、5＝3＋2、8＝5＋3……，如此类推。

　　  有人说这些数字是他从研究金字塔所得出。金字塔和上列奇异数字息息相关。金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面。由任何一边看去，都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸（5－8－13），而高底和底面百分比率是0.618，那即是上述神秘数字的任何两个连续的比率，譬如55/89＝0.618，89/144＝0.618，144/233＝0.618。另外，一个金字塔五角塔的任何一边长度都等于这个五角型对角线（Diagonal）的0.618。

　　  这组数字十分有趣。0.618的倒数是1.618。譬如144/89＝1.618、233/144＝1.618，而0.618×1.618＝就等于１。这些数字充满着神秘，因此被称为神秘数字。而0.618，1.618就叫做黄金分割率（Golden

　　  Section）。

　　  数百年来，一些学者专家陆续发现，包括建筑结构、力学工程、音乐艺术，甚至于很多大自然的事物，都与“5：8”比例近似的0.382和0.618这两个神秘数字有关。而由于0.382与0.618这两个神秘数字相加正好等于１，所以又把“0.382”及“0.618”的比率称之为“黄金分割率”或“黄金切割率”。

　　  许多专家学者指出，“黄金分割率”不但具有美学观点更具有达到机能的目的。比如，建筑物、画框、扑克牌和书籍等，长和宽的比例都十分接近于“黄金分割率”。再比如，一位正常成长的人，从肚脐到脚底的长度，大约占身躯总长度的0.618，那么他（她）的身材必然非常匀称。又例如：细菌繁殖的速率、海浪的波动、飓风云层及外层空间星云的旋转，都与“黄金分割率”所延伸的“黄金螺旋”1.618倍的比率有关。

　　 

　　  最早，人们发现长宽之比为1：0.618的矩形很协调，因此古代的建筑大师和雕塑家们就巧妙地利用黄金分割比创造出了雄伟壮观的建筑杰作和令人倾倒的艺术珍品：公元前3000年建造的胡夫大金字塔，其原高度与底部边长约为1:1.6，公元前五世纪建造的庄严肃穆的雅典巴特农神殿(Parthenon  at Athens)，其正面高度与宽度之比约为1:1.6。这种比例也被严格的应用于艺术创作中，尤其是文艺复兴时期的古典画作中。如达·芬奇的《维特鲁威人》，达维特的《萨平妇女》和米勒的《拾穗》的构图，都是按照黄金分割严格安排的，

　　  米罗维纳斯、大卫以及太阳神阿波罗的塑像，他们的下肢与身高之比也都近乎1:1.6（按照最完美的人体比例，即下肢与身高之比为0.618）。中国古代画论中所说“丈山尺树，寸马分人”讲了山水画中山、树、马、人的大致比例，其实也是根据黄金分割而来。古琴的设计“以琴长全体三分损一，又三分益一，

　　  而转相增减”， 全弦共有十三徽。

　　  把这些排列到一起，二池，三纽，五弦，八音，十三徽，正是具有1.618之美的费波那契数列。在贝多芬，莫扎特，巴赫等音乐家的作品里也都流淌着黄金分割的完美和谐。此外，留意的同学会发现，我国的故宫建筑中也有不少这种黄金分割的存在。

　　  大自然的鬼斧神工处处都留下了黄金分割的痕迹。楓葉的葉脈和葉子寬度的比例，蝴蝶身長和翅宽的比例都是成黄金比例0.618。此外，以1.618为比例扩张的螺旋也被成为黄金螺旋。在自然界的松果、菠萝、雏菊、向日葵还有著名的鹦鹉螺等身上都会发现黄金螺旋的存在。据研究，从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有许多比例关系接近0.618。生活中人们最舒适的环境气温为22℃－24℃，也源于体温36℃－37℃与0.618的乘积恰好是22.4℃－22.8℃。所以也有一说认为黄金比例正是来源于人类最熟悉的自己和环境，也因此将其作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推而广之。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！

　　  在艺术创作和数字艺术中，黄金分割被广泛的应用着。如摄影，设计的布局和构图，海报，排版，家装，甚至有些数字产品也以黄金分割为设计卖点。我想，这与工业设计中的人体工学与黄金比例的内在联系有关吧。

　　  了解了黄金比例的巧妙与和谐之美，怎样加以实际应用还需细琢磨，多揣测。有个唐朝石匠巧妙利用黄金分割做大头佛像的故事，也是在提醒我们，黄金比例的视觉感受还要矫以“视觉误差”才可以。例如我还记得，第一个整站项目中的设计，就是严格按照0.618划分屏幕的，可总觉的不是想像中般完美，考虑到色块对比的效应，还需要适当加大浅色区域的面积。例如，参加比赛时往往全场0.618处选手容易获得高分，而较长时间（或距离）之中还有“黄金点”的“大小”之分等等。至于黄金比例的哲学性，咱还没有领悟到，不过擅于掌握一些规律，必定能达到事半功倍的效果－－体会仅此

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　　  2007-10-30 01:34:46

　　  所谓黄金比例（Φ讀作 [fai]），其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618 :

　　  1或1 :

　　  0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。早在公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯就发现了在这种分割状态下存在一种和谐的美，后来古希腊美学家柏拉图正式将此称为黄金分割，并一直被认为是最佳比例－－在艺术，建筑，自然界，甚至我们的生活中，这种0.618的美都处处存在。

　　  注意这句：长段的平方等于全长与短段的乘积。

　　  

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　　  2007-10-30 01:08:59

　　        0.618,遍布宇宙的黄金分割律

　　        2007-05-19 11:06

　　        

　　        0.618，是一个充满无穷魔力的神秘数字，最早是由2500年前的毕达哥拉斯学派发现。由于它自身的比例能对人的视觉产生适度的刺激，后来被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割，”故0.618最初是因其比例在造型艺术上的悦目而得名。到了15世纪末期，法兰西教会的传教士路卡·巴乔里发现：金字塔之所以能屹立数千年不倒，主要原因与其高度和基座长度的比例有关，这个比例就是5：8，与0.618极其相似。有感于这个神秘比值的奥妙及价值，他将黄金分割又称“黄金比律”，后人简称“黄金比”、“黄金律”、“中外比”。

　　        一、奇妙的黄金分割

　　        黄金分割不但在数学中扮演着神奇的角色，而且在.美学、艺术、音乐、建筑、生物、自然等领域都可以找到它的踪迹。在日常生活中我们会看到，像书籍、国旗、桌面、电视屏幕等物品都很协调，其主要原因就是它们的长宽比例符合黄金分割。另外我们还发现，世界上最著名的许多建筑，其比例也都可以找到这个精灵的存在。无论是古埃及的金字塔和古希腊的帕特农神殿，还是印度的泰姬陵和法国的巴黎圣母院，尽管这些建筑风格各异，但在总体构图的设计方面，却都有意无意地运用了黄金分割法则。在动物和昆虫中也是这样，像犬、马、狮、虎、蝴蝶等看上去形体都很优美，其原因也是它们的比例大体上接近黄金分割。

　　        在我们人类中也是一样，凡是看上去体态优美的少女或体操运动员，其身材各部的比例也与黄金比相近。古希腊人认为：健康的人体是最完美的，而健康的人体中一定存在着各种优美、和谐的比例关系。另外我们还会发现，在晚会上凡是有经验的报幕员，一般都不会站在舞台的正中间，而是站在舞台一侧的0.618处。只有这样看起来，才会显得更加和谐悦目。这正如17世纪的英国美学家夏里兹所说：“凡是美的都是和谐的和比例合度的；凡是和谐和比例合度的就是真的，凡是既美而又真的也就是在结果上愉快和完善的。”这也正如古希腊的毕达哥拉斯所说：“凡是美的东西都具有共同的特征，那就是部分与部分及部分与整体之间的协调一致。”由此有人断言：凡符合黄金分割律的，也必会是最美和最合度的形体。

　　        二、黄金分割在人体及植物中的体现

　　        黄金分割不但在艺术和美学的表现形式上让人赏心悦目，另外在我们人体和其它许多生物上也处处体现。我们知道：人体从头顶到脚底的肚脐部位之比是0.618；从肚脐以上到头顶的咽喉部位之比也是0.618；从脑前向后延伸至下顶叶处，是大脑处理数学思维、三维形象和空间关系的关键部位，而此处也正好是0.618；而臀宽与躯干的长度之比、上肢与下肢的长度之比、下肢与全身的长度之比、肩关节与肘关节的长度之比、肘关节与腕关节的长度之比、膝关节与踝关节的长度之比，以及心脏与胸腔之比、眼睛与脸部之比，也都奇妙地遵循着神秘的黄金比律。

　　        在以后又有人发现，人体的很多重要穴位以及健康、疾病、生长发育等都与黄金分割有关，就连医学和养生也与0.618有着千丝万缕的联系。如人体头顶至后脑的0.618处是百会穴；下颌到头顶的0.618处是天目穴；手指到手腕的0.618处是劳宫穴；脚后跟到脚趾的0.618处是涌泉穴；从脚底到头顶的0.618处是丹田穴……又比如，人的正常体温是37℃左右，但在外界温度是23℃时会感到最舒适。而在这个环境中，人体的生理功能、生活节奏及新陈代谢水平也都处于最佳状态。而37℃与23℃的比值也正好是0.618。我们知道，组成人体含量最多的物质是水，它占成年人体重的百分之六十几到百分之七十，其比值与黄金分割十分相似。而最神秘的巧合是我们生命中的DNA了，它的每个双螺旋结构中都包含有黄金分割，因为每个螺旋结构都是由长34个埃与宽21个埃之比组成，而它们的比率为1.6190476，非常接近黄金分割比的1.6180339。难怪有人猜测说：黄金分割是否就是宇宙中的遗传密码DNA呢？

　　        科学研究表明，大自然是最伟大的创作者和最优秀的设计师。在天地之间，大自然总是遵循至美和从简的原则，用最优化的设计来造化万物。在许许多多的植物中，无论是高大挺拔的乔木，还是矮小秀雅的灌木，它们所生长的形状一般都接近黄金分割的比例。在植物的茎干上，两张相邻的叶片夹角一般都是137°301，而这个角度恰好又是圆的黄金分割比。研究发现，这种夹角对植物的通风和采光效果最佳。另外在向日葵上，也包含有许多黄金比例的结构和原理。我们可以清楚地看到，在向日葵花盘上的瓜籽布局分有左21条，和右13条的两种螺旋排列，而21与13的比值正好是黄金分割的比值0.618。通过计算得知，向日葵籽的螺旋排列可在最小的面积上得到最大的数量。大自然简直是太神奇了，它的智慧让万物之灵的人类感到惊叹。为此威尼斯著名数学家帕乔里，将黄金分割誉为是“神”赐的比例。

　　        三、自然界中的黄金分割

　　        0.618，这个神奇的数字确实是太不可思议了。随着人类对这一奇特比例的不断认识，发现它不仅仅在美学、建筑、生物上大量出现，而且在自然界及天文学中也都暗含着这个奇妙的比例结构。我们知道，在地球的北回归线附近是一条神秘地带，在这条地带上，有我国的庐山、黄山、峨眉山以及壮观的钱塘江大潮和长江；有著名的金字塔之谜、死海形成之谜、四川自贡恐龙灭绝之谜、大西洋诸岛沉没之谜、百慕大三角之谜、撒哈拉沙漠之谜以及美国的圣塔柯斯镇斜立之谜；有世界上最高的珠穆朗玛峰，有世界上最深的大西洋马里亚纳海沟和埃及的尼罗河。另外在这条神秘带上，历史上还出现过巴比伦文明、亚述文明以及神奇的苏美尔人……

　　        近年来，许多国家的科学家投入了大量的人力、物力，都在研究这一地带的种种神秘现象，并提出了很多的假说。2000年9月，我国和美国科学家组成的联合考察队，也曾对北回归线附近的某些区域进行了大规模的科学考察。然而，至今还没有任何人能够完全破解这里的奥秘。不过，我们只要通过地球仪进行一下简单的测量计算就不难发现，北回归线附近的这条神秘地带，也正好落在地球的0.618处。黄金分割这一“神”赐予的比例，终于突破了原只有在几何学中悦目的范围之后，又在很多的领域体现出古希腊人寓意深远的种种神秘。

　　        四、宇宙间的黄金分割

　　        我们知道，太阳系内目前共发现有九大行星。然而早在18世纪中叶，德国的自然科学家提丢斯就发现，如将0、3、6、12、24、48、96数列中的每个数加4，而得数用10来除，其结果是：

　　        （0+4）÷10=0.4 （水星距离太阳实际0.387天文单位）

　　        （3+4）÷10=0.7 （金星距离太阳实际0.723天文单位）

　　        （6+4）÷10=1.0 （地球距离太阳实际1.000天文单位）

　　        （12+4）÷10=1.6 （火星距离太阳实际1.524天文单位）

　　        （24+4）÷10=2.8 （小行星带）

　　        （48+4）÷10=5.2 （木星距离太阳实际5.203天文单位）

　　        （96+4）÷10=10 （土星距离太阳实际9.56天文单位）

　　        注：1个天文单位等于1.5亿千米

　　        通过以上数字对比我们可以看出，提丢斯计算出的数值与各行星至太阳的实际距离确实是十分相近的。1766年，提丢斯在把《自然的探索》这本书从法文翻译成德文的时候，也顺便将他发现的这一规律加进书中。但此书出版后并没有引起人们的普遍关注。1772年，柏林天文台台长波得注意到了这-奇特的规律，并将它编写到《星空研究指南》一书中进行介绍，这就是后人经常提到的提丢斯—-波得定则。但需要说明的是：为什么是0、3、6、12、24、48这样的数列加4再用10来除而不是别的什么数？提丢斯和波得都没有做出任何解释。里面包含着什么奥秘？他们俩也都没有说明。

　　        近年来，有人用黄金分割法来计算各行星至太阳的距离，其结果同样令人惊讶！（计算结果见下）

　　        0.732×0.618＝0.446（水星距太阳实际0.387天文单位）

　　        1.000×0.618＝0.618（金星距太阳实际0.723天文单位）

　　        1.52×0.618＝0.939（地球距太阳实际1.000天文单位）

　　        2.80×0.618＝1.73 （火星距离太阳实际1.52天文单位）

　　        5.20×0.618＝3.213（小行星带距太阳实际2.8天文单位）

　　        9.54×0.618＝5.89 （木星距太阳实际5.2天文单位）

　　        19.2×0.618＝11.86 （土星距太阳实际9.54天文单位）

　　        30.1×0.618＝18.601（天王星距太阳实际19.2天文单位）

　　        从以上数字我们可以看出，除土星至太阳的实际距离误差稍大些外，其它行星至太阳的距离数值都还是很接近的。如果我们再考虑到各行星之间的相互引力及偏心率问题，计算数值会显得更要精确一些。如土星除受太阳的吸引力外，还要受木星巨大引力的影响，故它的实际距离小于计算值就不难理解了。当然，用黄金分割法计算各行星至太阳间的距离，同提丢斯—-波得定则一样，在海王星和冥王星的计算上受到了挑战，其原因还有待于继续分析研究。

　　        我们知道，银河系是一个巨大的天体系统，其中恒星占了90%，气体和尘埃占了10%，而这些物质大部分汇聚在中央平面的附近绕银河中心运行。从侧面来看我们的银河系，它就像一个扁扁的铁饼，整个直径有25千秒差距至30千秒差距，而我们人类居住的地球和太阳系，就处在距银河系中心8.5千秒差距的地方。近年来又有人发现：我们的太阳系所在的位置，正好也是银河系半径的黄金分割带上。即：

　　        27.5÷2×0.618＝8.4975（千秒差距）

　　        注：1、每千秒差距约为3300光年

　　        2、27.5千秒差距是25千秒差距至30千秒差距的平均值

　　        我们的银河系，是由两千亿颗恒星及行星组成。从概率角度讲，具备生物生存条件的行星肯定还有很多，但能够有像人类智慧的高等生物毕竟还是少数，至少目前我们还没有确凿的发现证据。那么我们是否可以这样认为，在银河系黄金分割带上的某些行星，是可以诞生出高等动物几率较大的生命摇篮呢？

　　        我们知道，爱因斯坦是20世纪最伟大的物理学家。在他的后半生，爱因斯坦极力想寻找到一个能在自然界解决很多问题，并是宇宙间普遍规律的最简算式。遗憾的是爱因斯坦耗尽了心血，但直到他逝世也没有找到。那么我们今天在这里猜想：黄金分割律，是否就是爱因斯坦想要寻找的最简算式呢？