投资的复利增值魅力和威力历来是股神巴菲特所赞赏和推崇的。许多文章也常以复利计算的投资收益率作为衡量投资基金业绩的指标。对于个人投资者来说，计算一下自己投资帐户的平均年度收益率也是件很值得一做的事。不过我们却极少看到以复利计的收益率具体是怎样计算的。尽管从数学定义和感觉上，不觉得收益率这个概念有什么复杂，不就是年度收益与年初投资额的比值嘛。但是如果在计算的年度内，有资金进出投资帐户时，又该以什么作为年度收益率计算式中的分母呢？再进一步，当投资跨越多个年度，其中投资帐户又有资金的频繁进出，这时以复利计的平均年度收益率又该怎样计算呢？
下面是根据资金在帐户中停留的年度等效数额，推导出一个适合个人投资者使用的，以复利计的平均年度收益率计算公式。
以一个个人操作的投资帐户为例，从年初开始到年末这段期间，除了初期的投入资金外，常有中间增加投资和从投资组合中取出部分资金用于消费等。这些不规则的资金流动，就使得年度收益率的计算变得复杂了。举个例子，对于一个在整个年度内没有资金进出的投资帐户，到了年末，如果帐户的资产净值增加了10％，用年末的总收益除以年初帐户的总净值，就可以计算出年度投资收益率了（自然是10％）。但是，如果这期间既有新的资金加入，又有资金抽走的情况，显然不能用年末的总收益除以投入的总资金来计算年度的投资收益率了。因为到年末时，新加入部分的资金并没有投入满一年，中间抽走部分的资金所减少的投资期也不到一年。如要算出一个合理的投资收益率，就应该对期间所变动的资金，进行等效一年投资期的折算，即将中间加入的资金折算成等效的年初资金的增加，将中间抽走的资金折算成等效的年初投入资金的减少。再将这两者与年初的投入资金求代数和，得出等效的年初投资额。这时再求当年的投资收益与等效的年初投资额之比，才是该年的年度投资收益率了。
以一个计算实例来说明上述的算法。
在年初投入资金1万元，在3月20日追加资金5000元，在11月10日抽出资金3000元。在年底，组合的总净值为14500元。求该年度的投资收益率。
解：1）由于在3月20日追加的投资仅使用了365－31－28－19＝287天，等效于5000x287/365=3931.5元的资金使用了一年；
2）在11月10日抽出的资金，抽走的天数为 20+31 = 51 天，等效于3000x51/365=419.2元的资金抽走了一年；
于是，
总的投资额 ＝10000+5000-3000＝12000元
当年盈利 ＝ 14500-12000＝ 2500 元
等效的年初投资额＝10000+3931.5-419.2 ＝13512.3元
当年的收益率 ＝ 2500/13512.3 ＝ 0.185＝18.5 ％
从本例可以看出，如果取当年收益与当年总投资额之比作为当年的收益率，将得出2500/12000＝0.208，即当年的投资收益率＝20.8％的结果。
有了将年内单次进出资金等效成年初投资额增减的算法，就可以导出在单一年度内有多次资金进出投资帐户的年度投资收益率的计算公式了。
设单一年度内资金投入m次，抽走n次，则
年度等效增减资金＝∑资金I Xi / 365 - ∑资金j Yj / 365
式中：Xi ------ 第i笔资金投入时本年度余下天数；（i = 1，2，，，，m）
资金i --- 第i笔资金的数值；（i = 1，2，，，，m）
Yj ------ 第j笔资金流出时本年度余下天数；（j = 1，2，，，，n）
资金j / 第j笔资金的数值。（j = 1，2，，，，n）
当年度增减资金净额＝∑资金i －∑资金j
（i = 1，2，，，m），（j = 1，2，，，n）
这里是将年初投入的资金也作为投入资金的一项。如果计算结果为负数，说明总体上该年度是净抽走资金。
于是，对一个投资帐户的第一年，假设要求的年度收益率达到h，年末投资帐户的净市值（现金＋证券市值）应达到按下式计算的结果：
年末要求达到的净市值＝年度等效增减资金 x h + 当年度增减资金净额
（对于投资证券的投资帐户，市值可以通过证券在结算日的收市价计算得到）
在已经知道帐户净市值时，可通过几次试算得到能够使上式成立的投资收益率h。
有了第一年的投资收益率的算法，就可以推导出以复利计的平均年度投资收益率的计算公式了。
在定下要求的平均年度收益率后，对于第二年及以后年度，在该年度的投资金额包括两部分：一是上年末的应达到的帐户净市值，另一部分是该年内投入的年度等效增减资金。这两部分应该取得要求的收益率。同时本金由为两部分组成：一部分是上年末应达到的帐户净市值，另一部分为当年度增减资金净额。于是在第二年末，要求达到的帐户净市值可由下式计算：
第二年末要求达到的净市值＝
（第一年末要求达到的净市值＋当年度等效增减资金） x h
+ 第一年末要求达到的净市值＋当年度增减资金净额
或写成
第二年末要求达到的净市值＝
第一年末要求达到的净市值x（1＋h）
+ 当年度等效增减资金 x h
+ 当年度增减资金净额
在第三年末，要求达到的帐户净市值可由下式计算：
第三年末要求达到的净市值＝
第二年末要求达到的净市值x（1＋h）
＋当年度等效增减资金 x h
+ 当年度增减资金净额
依此类推，可以得出在结算年末的帐户应达到的净市值，即：
结算年末要求达到的净市值＝
结算前一年末要求达到的净市值x（1＋h）
＋当年度等效增减资金 x h
+ 当年度增减资金净额
上面是假定了一个要求的平均收益率后导出的计算式。对于已知了结算年年末达到的帐户净市值后，要反过来求平均的年度投资收益率h，数学上可能较难，但可以依照上面的公式，用Excel程序建立一张计算表（见附表）。其中某一格为所要求的平均年度投资收益率，所有的计算都引用该格的数值进行计算。在给定了h时，便可以得到每个年度末，是否达到了要求帐户净市值，在要计算开始投资以来至结算年末的平均年度投资收益率时，可以通过改变投资收益率h所处的一格的值来试算，直到表中结算年末要求的净市值一格的数值，十分接近投资帐户的净市值时，就得到了在整个计算期内，以复利计的平均年度投资收益率了。
需要一提的是，当投资帐户中因将证券变现而有了现金时，并不能将其作为抽走的资金，除非你已经决定将该笔资金撤出投资帐户另作它用。因为作为投资帐户来说，变现得到的现金，也是帐户的资产，需要为其寻找新的投资。由于现金只能获得利息收入，帐户持有的现金越多，时间越长，就会拖低投资帐户的收益率，产生现金压力现象。这也就是为什么基金都倾向于保持较少的现金而有尽量投资的冲动。
附表是一张以10万元作为初始投资，共投资5年，期间有10次资金进出记录。假定在第五年末的投资帐户净市值分别为，200000，2520000，300000，则可用试算法确定，以复利计的平均年度收益率为，18.85％，23.75％，28%。如果要达到30％的平均年度收益率，在第五年年末，帐户的净市值必须达到326278元。
本文曾于2007年2月发布于互联网
