不同形状的生产可能性边界与生产者决策
生产可能性边界(production-possibility frontier),简称PPF，用来表示经济社会在既定资源和技术条件下所能生产的各种商品最大数量的组合，反映了资源稀缺性与选择性的经济学特征。
生产可能性边界总是向右下方倾斜的，即PPF曲线的斜率总是负的，即PPF曲线总是减函数。这是因为选择总是有代价的，就是机会成本，即在资源与技术既定时，多生产一单位某种产品就要少生产某些单位另一种产品。为多生产一单位某种产品所放弃的某些单位另一种产品就是多生产一单位某种产品的机会成本。当作出多生产一单位某种产品的选择时必然要付出这种机会成本。
常见经济学教材中[1][2]的生产可能性边界是向上弯曲的，即凸函数，而不是一条直线，也不是一条向下弯曲的曲线，即凹函数。这是因为通常情况下边际机会成本递增。但是，边际机会成本递减和不变的情况也是存在的。因此，有必要探讨一下PPF曲线的三种不同类型，及其对应的生产者决策。
一、 直线型生产可能性边界
设生产者可以生产A、B两种产品，每多生产一个单位的A产品，需要减少的B产品都是相同的，即边际机会成本不变。这时在以A、B产量分别为横轴和纵轴的平面直角坐标系中画出A、B产量的对应关系，即生产可能性边界就是一条直线。我们参考[2]设计下表，每增加一个单位的A，就减少1.45个单位的B。
|
表一、直线型生产可能性边界（A价格小于B价格*B最大产量/A最大产量） |
|||||||
|
A产品产量 |
B产品产量 |
步长 |
B价格 |
B产值 |
A价格 |
A产值 |
合计产值 |
|
0 |
14.5 |
|
1 |
14.5 |
1.44 |
0 |
14.5 |
|
1 |
13.05 |
1.45 |
1 |
13.05 |
1.44 |
1.44 |
14.49 |
|
2 |
11.6 |
1.45 |
1 |
11.6 |
1.44 |
2.88 |
14.48 |
|
3 |
10.15 |
1.45 |
1 |
10.15 |
1.44 |
4.32 |
14.47 |
|
4 |
8.7 |
1.45 |
1 |
8.7 |
1.44 |
5.76 |
14.46 |
|
5 |
7.25 |
1.45 |
1 |
7.25 |
1.44 |
7.2 |
14.45 |
|
6 |
5.8 |
1.45 |
1 |
5.8 |
1.44 |
8.64 |
14.44 |
|
7 |
4.35 |
1.45 |
1 |
4.35 |
1.44 |
10.08 |
14.43 |
|
8 |
2.9 |
1.45 |
1 |
2.9 |
1.44 |
11.52 |
14.42 |
|
9 |
1.45 |
1.45 |
1 |
1.45 |
1.44 |
12.96 |
14.41 |
|
10 |
0 |
1.45 |
1 |
0 |
1.44 |
14.4 |
14.4 |
这种情况下，我们研究生产者的决策行为。生产者总是追求产值最大。我们可以发现：
如果A产品的价格小于B价格*B最大产量/A最大产量，则全部生产B产品，会使合计产值最大。（表一）
如果A产品的价格等于B价格*B最大产量/A最大产量，则A、B两种产品任意组合，合计产值都是一样的。（表二）
如果A产品的价格大于B价格*B最大产量/A最大产量，则全部生产A产品，会使合计产值最大。（表三）
|
表二、直线型生产可能性边界（A价格等于B价格*B最大产量/A最大产量） |
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|
A产品产量 |
B产品产量 |
步长 |
B价格 |
B产值 |
A价格 |
A产值 |
合计产值 |
|
0 |
14.5 |
|
1 |
14.5 |
1.45 |
0 |
14.5 |
|
1 |
13.05 |
1.45 |
1 |
13.05 |
1.45 |
1.45 |
14.5 |
|
2 |
11.6 |
1.45 |
1 |
11.6 |
1.45 |
2.9 |
14.5 |
|
3 |
10.15 |
1.45 |
1 |
10.15 |
1.45 |
4.35 |
14.5 |
|
4 |
8.7 |
1.45 |
1 |
8.7 |
1.45 |
5.8 |
14.5 |
|
5 |
7.25 |
1.45 |
1 |
7.25 |
1.45 |
7.25 |
14.5 |
|
6 |
5.8 |
1.45 |
1 |
5.8 |
1.45 |
8.7 |
14.5 |
|
7 |
4.35 |
1.45 |
1 |
4.35 |
1.45 |
10.15 |
14.5 |
|
8 |
2.9 |
1.45 |
1 |
2.9 |
1.45 |
11.6 |
14.5 |
|
9 |
1.45 |
1.45 |
1 |
1.45 |
1.45 |
13.05 |
14.5 |
|
10 |
0 |
1.45 |
1 |
0 |
1.45 |
14.5 |
14.5 |
|
表三、直线型生产可能性边界（A价格大于B价格*B最大产量/A最大产量） |
|||||||
|
A产品产量 |
B产品产量 |
步长 |
B价格 |
B产值 |
A价格 |
A产值 |
合计产值 |
|
0 |
14.5 |
|
1 |
14.5 |
1.46 |
0 |
14.5 |
|
1 |
13.05 |
1.45 |
1 |
13.05 |
1.46 |
1.46 |
14.51 |
|
2 |
11.6 |
1.45 |
1 |
11.6 |
1.46 |
2.92 |
14.52 |
|
3 |
10.15 |
1.45 |
1 |
10.15 |
1.46 |
4.38 |
14.53 |
|
4 |
8.7 |
1.45 |
1 |
8.7 |
1.46 |
5.84 |
14.54 |
|
5 |
7.25 |
1.45 |
1 |
7.25 |
1.46 |
7.3 |
14.55 |
|
6 |
5.8 |
1.45 |
1 |
5.8 |
1.46 |
8.76 |
14.56 |
|
7 |
4.35 |
1.45 |
1 |
4.35 |
1.46 |
10.22 |
14.57 |
|
8 |
2.9 |
1.45 |
1 |
2.9 |
1.46 |
11.68 |
14.58 |
|
9 |
1.45 |
1.45 |
1 |
1.45 |
1.46 |
13.14 |
14.59 |
|
10 |
0 |
1.45 |
1 |
0 |
1.46 |
14.6 |
14.6 |
我们也可以利用解析表达式来研究这个问题。设
A为A产品产量，
B为B产品产量，
MA为A产品最大产量，
MB为B产品最大产量，
PA为A产品价格，
PB为B产品价格，
Y为合计产值。 则
图1为直线型PPF。图2为对应的A产品的供给曲线。这里供给曲线上的任意一点的含义是，对于任意一个A产品的价格，对应的A产品的产量，通过PPF对应B产品的产量，构成A、B两种产品的组合，使得A、B两种产品的合计产值达到最大，从而实现生产者的最优决策。
B
MB
 |
0 MA A
图1.直线型PPF
PA
0 MA A
图2.直线型PPF对应的A产品的供给曲线
二、 凹函数型生产可能性边界
如果每多生产一个单位的A产品，需要减少的B产品是逐步减少的，即边际机会成本递减，那么PPF曲线就是凹函数。（表四、表五、表六）
|
表四、凹函数型生产可能性边界（A价格小于B价格*B最大产量/A最大产量） |
|||||||
|
A产品产量 |
B产品产量 |
步长 |
B价格 |
B产值 |
A价格 |
A产值 |
合计产值 |
|
0 |
14.5 |
|
1 |
14.5 |
1.44 |
0 |
14.5 |
|
1 |
12.6 |
1.9 |
1 |
12.6 |
1.44 |
1.44 |
14.04 |
|
2 |
10.8 |
1.8 |
1 |
10.8 |
1.44 |
2.88 |
13.68 |
|
3 |
9.1 |
1.7 |
1 |
9.1 |
1.44 |
4.32 |
13.42 |
|
4 |
7.5 |
1.6 |
1 |
7.5 |
1.44 |
5.76 |
13.26 |
|
5 |
6 |
1.5 |
1 |
6 |
1.44 |
7.2 |
13.2 |
|
6 |
4.6 |
1.4 |
1 |
4.6 |
1.44 |
8.64 |
13.24 |
|
7 |
3.3 |
1.3 |
1 |
3.3 |
1.44 |
10.08 |
13.38 |
|
8 |
2.1 |
1.2 |
1 |
2.1 |
1.44 |
11.52 |
13.62 |
|
9 |
1 |
1.1 |
1 |
1 |
1.44 |
12.96 |
13.96 |
|
10 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1.44 |
14.4 |
14.4 |
|
表五、凹函数型生产可能性边界（A价格等于B价格*B最大产量/A最大产量） |
|||||||
|
A产品产量 |
B产品产量 |
步长 |
B价格 |
B产值 |
A价格 |
A产值 |
合计产值 |
|
0 |
14.5 |
|
1 |
14.5 |
1.45 |
0 |
14.5 |
|
1 |
12.6 |
1.9 |
1 |
12.6 |
1.45 |
1.45 |
14.05 |
|
2 |
10.8 |
1.8 |
1 |
10.8 |
1.45 |
2.9 |
13.7 |
|
3 |
9.1 |
1.7 |
1 |
9.1 |
1.45 |
4.35 |
13.45 |
|
4 |
7.5 |
1.6 |
1 |
7.5 |
1.45 |
5.8 |
13.3 |
|
5 |
6 |
1.5 |
1 |
6 |
1.45 |
7.25 |
13.25 |
|
6 |
4.6 |
1.4 |
1 |
4.6 |
1.45 |
8.7 |
13.3 |
|
7 |
3.3 |
1.3 |
1 |
3.3 |
1.45 |
10.15 |
13.45 |
|
8 |
2.1 |
1.2 |
1 |
2.1 |
1.45 |
11.6 |
13.7 |
|
9 |
1 |
1.1 |
1 |
1 |
1.45 |
13.05 |
14.05 |
|
10 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1.45 |
14.5 |
14.5 |
|
表六、凹函数型生产可能性边界（A价格大于B价格*B最大产量/A最大产量） |
|||||||
|
A产品产量 |
B产品产量 |
步长 |
B价格 |
B产值 |
A价格 |
A产值 |
合计产值 |
|
0 |
14.5 |
|
1 |
14.5 |
1.46 |
0 |
14.5 |
|
1 |
12.6 |
1.9 |
1 |
12.6 |
1.46 |
1.46 |
14.06 |
|
2 |
10.8 |
1.8 |
1 |
10.8 |
1.46 |
2.92 |
13.72 |
|
3 |
9.1 |
1.7 |
1 |
9.1 |
1.46 |
4.38 |
13.48 |
|
4 |
7.5 |
1.6 |
1 |
7.5 |
1.46 |
5.84 |
13.34 |
|
5 |
6 |
1.5 |
1 |
6 |
1.46 |
7.3 |
13.3 |
|
6 |
4.6 |
1.4 |
1 |
4.6 |
1.46 |
8.76 |
13.36 |
|
7 |
3.3 |
1.3 |
1 |
3.3 |
1.46 |
10.22 |
13.52 |
|
8 |
2.1 |
1.2 |
1 |
2.1 |
1.46 |
11.68 |
13.78 |
|
9 |
1 |
1.1 |
1 |
1 |
1.46 |
13.14 |
14.14 |
|
10 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1.46 |
14.6 |
14.6 |
这种情况下，我们研究生产者的决策行为，可以发现：
如果A产品的价格小于B价格*B最大产量/A最大产量，则全部生产B产品，会使合计产值最大。（表四）
如果A产品的价格等于B价格*B最大产量/A最大产量，则要么全部生产A产品，要么全部生产B产品，会使合计产值最大。（表五）
如果A产品的价格大于B价格*B最大产量/A最大产量，则全部生产A产品，会使合计产值最大。（表六）
我们也可以利用解析表达式来研究PPF为凹函数的情况。当然，这时的PPF曲线可以有多种。我们研究一种简单情况，即PPF为开口向上的抛物线的局部：
图3为凹函数型PPF。图4为对应的A产品的供给曲线。
B
 |
MB
 |
0 MA A
图3.凹函数型PPF
PA
 |
|||
 |
|||
0 MA A
图4.凹函数型PPF对应的A产品的供给曲线
三、 凸函数型生产可能性边界
如果每多生产一个单位的A产品，需要减少的B产品是逐步增加的，即边际机会成本递增，那么PPF曲线就是凸函数。（表七、表八、表九、表十、表十一）
|
表七、凸函数型生产可能性边界（A价格小于B价格*B最大产量/A最大产量） |
|||||||
|
A产品产量 |
B产品产量 |
步长 |
B价格 |
B产值 |
A价格 |
A产值 |
合计产值 |
|
0 |
14.5 |
|
1 |
14.5 |
1.44 |
0 |
14.5 |
|
1 |
13.5 |
1 |
1 |
13.5 |
1.44 |
1.44 |
14.94 |
|
2 |
12.4 |
1.1 |
1 |
12.4 |
1.44 |
2.88 |
15.28 |
|
3 |
11.2 |
1.2 |
1 |
11.2 |
1.44 |
4.32 |
15.52 |
|
4 |
9.9 |
1.3 |
1 |
9.9 |
1.44 |
5.76 |
15.66 |
|
5 |
8.5 |
1.4 |
1 |
8.5 |
1.44 |
7.2 |
15.7 |
|
6 |
7 |
1.5 |
1 |
7 |
1.44 |
8.64 |
15.64 |
|
7 |
5.4 |
1.6 |
1 |
5.4 |
1.44 |
10.08 |
15.48 |
|
8 |
3.7 |
1.7 |
1 |
3.7 |
1.44 |
11.52 |
15.22 |
|
9 |
1.9 |
1.8 |
1 |
1.9 |
1.44 |
12.96 |
14.86 |
|
10 |
0 |
1.9 |
1 |
0 |
1.44 |
14.4 |
14.4 |
|
表八、凸函数型生产可能性边界（A价格等于B价格*B最大产量/A最大产量） |
|||||||
|
A产品产量 |
B产品产量 |
步长 |
B价格 |
B产值 |
A价格 |
A产值 |
合计产值 |
|
0 |
14.5 |
|
1 |
14.5 |
1.45 |
0 |
14.5 |
|
1 |
13.5 |
1 |
1 |
13.5 |
1.45 |
1.45 |
14.95 |
|
2 |
12.4 |
1.1 |
1 |
12.4 |
1.45 |
2.9 |
15.3 |
|
3 |
11.2 |
1.2 |
1 |
11.2 |
1.45 |
4.35 |
15.55 |
|
4 |
9.9 |
1.3 |
1 |
9.9 |
1.45 |
5.8 |
15.7 |
|
5 |
8.5 |
1.4 |
1 |
8.5 |
1.45 |
7.25 |
15.75 |
|
6 |
7 |
1.5 |
1 |
7 |
1.45 |
8.7 |
15.7 |
|
7 |
5.4 |
1.6 |
1 |
5.4 |
1.45 |
10.15 |
15.55 |
|
8 |
3.7 |
1.7 |
1 |
3.7 |
1.45 |
11.6 |
15.3 |
|
9 |
1.9 |
1.8 |
1 |
1.9 |
1.45 |
13.05 |
14.95 |
|
10 |
0 |
1.9 |
1 |
0 |
1.45 |
14.5 |
14.5 |
|
表九、凸函数型生产可能性边界（A价格大于B价格*B最大产量/A最大产量） |
|||||||
|
A产品产量 |
B产品产量 |
步长 |
B价格 |
B产值 |
A价格 |
A产值 |
合计产值 |
|
0 |
14.5 |
|
1 |
14.5 |
1.46 |
0 |
14.5 |
|
1 |
13.5 |
1 |
1 |
13.5 |
1.46 |
1.46 |
14.96 |
|
2 |
12.4 |
1.1 |
1 |
12.4 |
1.46 |
2.92 |
15.32 |
|
3 |
11.2 |
1.2 |
1 |
11.2 |
1.46 |
4.38 |
15.58 |
|
4 |
9.9 |
1.3 |
1 |
9.9 |
1.46 |
5.84 |
15.74 |
|
5 |
8.5 |
1.4 |
1 |
8.5 |
1.46 |
7.3 |
15.8 |
|
6 |
7 |
1.5 |
1 |
7 |
1.46 |
8.76 |
15.76 |
|
7 |
5.4 |
1.6 |
1 |
5.4 |
1.46 |
10.22 |
15.62 |
|
8 |
3.7 |
1.7 |
1 |
3.7 |
1.46 |
11.68 |
15.38 |
|
9 |
1.9 |
1.8 |
1 |
1.9 |
1.46 |
13.14 |
15.04 |
|
10 |
0 |
1.9 |
1 |
0 |
1.46 |
14.6 |
14.6 |
这种情况下，我们研究生产者的决策行为，可以发现：
只要A产品的价格在B价格*B最大产量/A最大产量附近一定范围之内，则均存在一个最佳生产组合，会使合计产值最大，即最佳生产者决策。（表七、表八、表九）
但是，如果A产品的价格足够小，小于B价格*最小的机会成本，则全部生产B产品，会使合计产值最大。（表十）
如果A产品的价格足够大，大于B价格*最大的机会成本，则全部生产A产品，会使合计产值最大。（表十一）
|
表十、凸函数型生产可能性边界（A价格小于B价格*最小步长） |
|||||||
|
A产品产量 |
B产品产量 |
步长 |
B价格 |
B产值 |
A价格 |
A产值 |
合计产值 |
|
0 |
14.5 |
|
1 |
14.5 |
0.99 |
0 |
14.5 |
|
1 |
13.5 |
1 |
1 |
13.5 |
0.99 |
0.99 |
14.49 |
|
2 |
12.4 |
1.1 |
1 |
12.4 |
0.99 |
1.98 |
14.38 |
|
3 |
11.2 |
1.2 |
1 |
11.2 |
0.99 |
2.97 |
14.17 |
|
4 |
9.9 |
1.3 |
1 |
9.9 |
0.99 |
3.96 |
13.86 |
|
5 |
8.5 |
1.4 |
1 |
8.5 |
0.99 |
4.95 |
13.45 |
|
6 |
7 |
1.5 |
1 |
7 |
0.99 |
5.94 |
12.94 |
|
7 |
5.4 |
1.6 |
1 |
5.4 |
0.99 |
6.93 |
12.33 |
|
8 |
3.7 |
1.7 |
1 |
3.7 |
0.99 |
7.92 |
11.62 |
|
9 |
1.9 |
1.8 |
1 |
1.9 |
0.99 |
8.91 |
10.81 |
|
10 |
0 |
1.9 |
1 |
0 |
0.99 |
9.9 |
9.9 |
|
表十一、凸函数型生产可能性边界（A价格大于B价格*最大步长） |
|||||||
|
A产品产量 |
B产品产量 |
步长 |
B价格 |
B产值 |
A价格 |
A产值 |
合计产值 |
|
0 |
14.5 |
|
1 |
14.5 |
1.91 |
0 |
14.5 |
|
1 |
13.5 |
1 |
1 |
13.5 |
1.91 |
1.91 |
15.41 |
|
2 |
12.4 |
1.1 |
1 |
12.4 |
1.91 |
3.82 |
16.22 |
|
3 |
11.2 |
1.2 |
1 |
11.2 |
1.91 |
5.73 |
16.93 |
|
4 |
9.9 |
1.3 |
1 |
9.9 |
1.91 |
7.64 |
17.54 |
|
5 |
8.5 |
1.4 |
1 |
8.5 |
1.91 |
9.55 |
18.05 |
|
6 |
7 |
1.5 |
1 |
7 |
1.91 |
11.46 |
18.46 |
|
7 |
5.4 |
1.6 |
1 |
5.4 |
1.91 |
13.37 |
18.77 |
|
8 |
3.7 |
1.7 |
1 |
3.7 |
1.91 |
15.28 |
18.98 |
|
9 |
1.9 |
1.8 |
1 |
1.9 |
1.91 |
17.19 |
19.09 |
|
10 |
0 |
1.9 |
1 |
0 |
1.91 |
19.1 |
19.1 |
我们也可以利用解析表达式来研究PPF为凸函数的情况。当然，这时的PPF曲线可以有多种。我们研究一种简单情况，即PPF为椭圆的局部：
图5为凸函数型PPF。图6为对应的A产品的供给曲线。
B
MB
 |
0 MA A
图5.凸函数型PPF
 |
|||
|
|||
PA
0 MA A
图6.凸函数型PPF对应的A产品的供给曲线
四、 实际情况举例
凸函数型PPF，即机会成本递增的情况，一般经济学教科书中都是这种例子，在此我们就不举例了。仅就直线型PPF即机会成本不变和凹函数型PPF，即机会成本递减两种情况各举一例。
例一：设某个农民有一块土地，既可以种玉米，也可以种大豆。多种玉米，就要少种大豆。此时，种玉米的机会成本就是不变的。
例二：设某个农民有一块土地，可以种粮食，也可以养鱼。假设鱼塘是正方形的，鱼的产量与鱼塘面积成正比，鱼塘四周需要一条2米宽的小路，用来放鱼苗，放鱼食，打捞成鱼等，那么，为了养鱼而占用的耕地面积就会随着鱼塘面积的增加而增加，但是，增加的速度会越来越小。例如下表：
|
表十二、边际机会成本递减的例子 |
||||
|
鱼塘面积 |
鱼塘边长 |
路的面积 |
占地面积 |
边际面积 |
|
100 |
10 |
80 |
180 |
180 |
|
200 |
14.1 |
113.1 |
313.1 |
133.1 |
|
300 |
17.3 |
138.6 |
438.6 |
125.4 |
|
400 |
20.0 |
160.0 |
560.0 |
121.4 |
|
500 |
22.4 |
178.9 |
678.9 |
118.9 |
这里养鱼的边际机会成本，即每增加100平方米的水面而占用的耕地面积，就是递减的。
参考文献
[1]保罗 萨缪尔森等著，萧琛译，人民邮电出版社，《经济学》，第十七版，P6,7,14,15，2009年5月出版。
[2] 保罗·海恩，彼得·勃特克，大卫·普雷契特科 著，马昕，陈宇 译，世界图书出版公司，《经济学的思维方式》，第十一版，2008年5月出版。
摘要
常见经济学教材中的生产可能性边界是向上弯曲的，而不是一条直线，也不是一条向下弯曲的曲线。这是因为通常情况下边际机会成本递增。但是，边际机会成本递减和不变的情况也是存在的。因此，有必要探讨一下PPF曲线的三种不同类型，及其对应的生产者决策。
Abstract
In the common testbooks of Economics, Production Possibility Frontier curves upward，rather than a straight line or a downward curve, because marginal possible cost normally increases progressively. However, it also happens that marginal possible cost decreases gradully or keeps constant. Therefore, it is necessary to discuss the three different types of PPF curve and the corresponding decisions made by the producer.
关键词：生产可能性边界，边际机会成本，供给曲线。
Keywords: Production Possibility Frontier, marginal possible cost, supply curve.
